Đề học sinh giỏi tỉnh Toán 12 chuyên năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Đồng Nai
Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 12 môn Toán chuyên năm 2021-2022 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai tổ chức là một sự kiện quan trọng nhằm tuyển chọn những học sinh xuất sắc về môn Toán để tham gia các kỳ thi cấp cao hơn như thi học sinh giỏi quốc gia, đội tuyển quốc gia.
Đề thi gồm 4 câu hỏi chính yêu cầu học sinh phải vận dụng kiến thức sâu rộng về hình học, đại số và giải tích để giải quyết. Các câu hỏi được thiết kế phù hợp với trình độ học sinh lớp 12 chuyên Toán, đảm bảo tính thách thức nhưng vẫn nằm trong khả năng của học sinh giỏi.
Đề thi được soạn thảo bởi các giáo viên, chuyên gia giảng dạy môn Toán do Sở GD&ĐT Đồng Nai lựa chọn và được công bố công khai để học sinh chuẩn bị. Kỳ thi diễn ra vào ngày 18/02/2022 với sự tham gia của học sinh lớp 12 chuyên Toán trên địa bàn tỉnh Đồng Nai.
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề học sinh giỏi tỉnh Toán 12 chuyên năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Đồng Nai
Bài 1. (4 điểm)
Cho đa thức hệ số thực $f(x)=x^4+a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0$ có 4 nghiệm dương phân biệt nhỏ hơn 8 . Phương trình $f\left(x^5-5 x+4\right)=0$ có bao nhiêu nghiệm thực? Tại sao?
Bài 2. (4 điểm)
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^3+3 x y^2+x=\sqrt[3]{1-3 x y^2}+1 \\ y+x \sqrt{3}=\sqrt[3]{2-3 x^2 y}+\sqrt{\frac{2}{y}-y^2}\end{array}\right.$ vói $x, y \in \mathbb{R}$.
Bài 3. (4 điểm)
Dãy số dương $\left(u_n\right)$ thoả mãn $u_0=2 ; u_1=4 ; u_{n+2}=2 \sqrt{4 u_{n+1}^2-u_n u_{n+2}}+u_n, \quad n=0 ; 1 ; 2 ; \ldots$
1) Chứng minh rằng $u_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$ với $n=0 ; 1 ; 2 ; 3 \ldots$
2) Đặt $S_n=\frac{1}{u_0}+\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\ldots+\frac{1}{u_n}$, chứng minh rằng dãy $\left(S_n\right)$ có giới hạn hữu hạn là $L$ và $L \leq \frac{6 \sqrt{3}-7}{4}$.
