Đề học sinh giỏi thành phố Toán THPT năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hải Phòng
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “bản giao hưởng” tri thức tuyệt vời – đề thi chọn học sinh giỏi thành phố môn Toán cấp THPT năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hải Phòng. Đây chắc chắn sẽ là một “buổi hòa nhạc” đầy thử thách và hấp dẫn cho những “nghệ sĩ” đam mê Toán học.
“Bản giao hưởng” này được “phối khí” trên 02 trang với 08 “nốt nhạc” dưới dạng bài toán tự luận. Các em sẽ có 180 phút (không tính thời gian phát đề) để “trình diễn” và thể hiện tài năng cũng như sự sáng tạo của mình trong “buổi hòa nhạc” này.
“Buổi hòa nhạc” sẽ chính thức được “mở màn” vào thứ Năm, ngày 08 tháng 12 năm 2022. Hãy “chuẩn bị nhạc cụ”, “lên dây đàn” và sẵn sàng “chơi” những “giai điệu” tri thức đầy mê hoặc. Chúng tôi tin rằng, với sự “luyện tập” không ngừng và niềm đam mê Toán học, các em sẽ “trình diễn” được những “bản nhạc” tuyệt vời và gặt hái nhiều “tràng pháo tay” trong “buổi hòa nhạc” này.
Chúng tôi tin rằng, đề thi này sẽ là một “bản giao hưởng” bổ ích và lý thú, giúp các em “luyện tập” kỹ năng và nâng cao trình độ giải Toán. Hãy coi đây như một cơ hội để các em thử sức, khám phá “âm sắc” riêng của bản thân và trở thành những “nghệ sĩ” Toán học tài ba.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “đam mê nghệ thuật”, không ngừng “sáng tạo” và “biểu diễn” những “giai điệu” mới trong thế giới Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề học sinh giỏi thành phố Toán THPT năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hải Phòng
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{x^3}{3}-2 x^2+m x-1$ có hai điểm cực trị $x_1, x_2$ thỏa mãn $\left|x_1-x_2\right|=2$.
b) Cho hàm số $y=x^3+3 x^2+(m+4) x+m+2$ có đồ thị là $\left(\mathrm{C}_m\right)$ và điểm $M\left(2 ;-\frac{3}{2}\right)$. Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d$ có phương trình $y=2 x+2$ cắt $\left(\mathrm{C}_m\right)$ tại ba điểm phân biệt $A(-1 ; 0), B, C$ sao cho $\triangle M B C$ là tam giác đều.
Câu 2. ( 1,0 điểm)
Cho hai số thực $a, b$ thỏa mãn $a>b>1$ và $\frac{1}{\log _b a}+\frac{1}{\log _a b}=\sqrt{2022}$.
Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{1}{\log _{a b} b}-\frac{1}{\log _{a b} a}$.
Câu 3. (1,0 điểm)
Giải phương trình $\frac{2 \sqrt{3} \sin ^2 x-\sqrt{3} \cos x-2 \sin x}{(1-2 \cos x) \tan x}=\cos x$.
Câu 4. (1,0 điểm)
Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để hệ phương trình sau có bốn nghiệm thực phân biệt
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2-m x-1=0 \\
x^2-y^2+x+y-2 m(x-y+1)=0 .
\end{array}\right.
$$