Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THPT năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Quảng Ninh
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “cuộc chinh phục” trí tuệ đầy kịch tính – đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo UBND tỉnh Quảng Ninh. Đây chắc chắn sẽ là một “hành trình” đầy thử thách và gay cấn cho những “nhà leo núi” đam mê Toán học.
“Lộ trình” của cuộc chinh phục này bao gồm 01 trang với 06 “đỉnh núi” tự luận, đòi hỏi sự kiên trì, bản lĩnh và kỹ năng “leo trèo” của các em. Với thời gian “chinh phục” là 180 phút (không tính thời gian phát đề), các em sẽ có đủ “thời gian” để “chinh phục” từng “đỉnh núi” tri thức một cách thấu đáo và chắc chắn.
Điểm đặc biệt của “cuộc chinh phục” chính là “độ cao” của nó, với thang điểm lên tới 20. Đây sẽ là một “thử thách” đầy hấp dẫn cho các “nhà leo núi” Toán học, đòi hỏi sự “dũng cảm” và kỹ năng “leo trèo” điêu luyện.
“Cuộc chinh phục” đã chính thức bắt đầu vào sáng thứ Sáu, ngày 02 tháng 12 năm 2022. Hãy “đeo ba lô”, “mang theo dụng cụ” và sẵn sàng cho một “hành trình” đầy hứng khởi. Chúng tôi tin rằng, với nỗ lực không ngừng và tình yêu Toán học, các em sẽ “chinh phục” được những “đỉnh núi” tri thức và gặt hái nhiều thành công trên hành trình này.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “tinh thần chinh phục”, không ngừng “leo núi” và “vượt qua” những thử thách mới trong thế giới Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THPT năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Quảng Ninh
Câu 1. (4,5 điểm)
Cho hàm số $y=-x^3+3 m x^2-3\left(m^2-1\right) x+m^3-m$ có đồ thị $(C)$ và điểm $I(-1 ; 3)$.
a) Tìm các giá trị của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(2022 ;+\infty)$.
b) Tìm các giá trị của tham số $m$ sao cho $(C)$ có hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị của $(C)$ cùng với điểm $I$ tạo thành một tam giác vuông tại $I$.
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Cho tam giác đều $A B C$. Trên mỗi cạnh $A B, B C, C A$ lần lượt lấy 4 điểm phân biệt và không điểm nào trùng với các đỉnh $A, B, C$. Hỏi lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp 15 điểm đã cho (tính cả các điểm $A, B, C)$ ?
b) Một người chọn ngẫu nhiên một số điện thoại, trong đó mỗi số có mười chữ số và ba chữ số đầu cố định là 099. Số điện thoại này được gọi là may mắn nếu bốn chữ số tiếp theo là các chữ số chẵn đôi một khác nhau, ba chữ số cuối là các số lẻ và tổng ba chữ số này bằng 9 . Tính xác suất để người đó nhận được số điện thoại may mắn.
Câu 3. (5,5 điểm)
Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật, $A B=3, B C=6$, đường thẳng $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$. Điểm $M$ thuộc đoạn $B C$ sao cho $B M=\frac{1}{3} B C$. Góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(S A B)$ bằng $45^{\circ}$.
a) Tính thể tích khối chóp $S . A B C D$.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $S M$ và $A C$.
c) Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $S M$ và $S C$. Chứng minh hình chóp A.CMHK nội tiếp một mặt cầu. Tính bán kính mặt cầu đó.
