Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THPT năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Lào Cai
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “chuyến phiêu lưu” trí tuệ đầy hấp dẫn – đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lào Cai. Đây chắc chắn sẽ là một “hành trình” đầy thử thách và bất ngờ cho những “nhà thám hiểm” đam mê Toán học.
“Cuộc phiêu lưu” này sẽ chính thức bắt đầu vào ngày 11 tháng 02 năm 2023. Hãy “đóng gói hành trang”, “mang theo la bàn” và sẵn sàng “lên đường” để khám phá những “vùng đất” tri thức mới lạ. Chúng tôi tin rằng, với sự “dũng cảm” và niềm đam mê Toán học, các em sẽ “chinh phục” được những “đỉnh cao” tri thức và gặt hái nhiều “kho báu” trong “chuyến phiêu lưu” này.
Điểm đặc biệt của “cuộc phiêu lưu” chính là “bản đồ” đáp án và “sách hướng dẫn” chấm điểm. Với những “công cụ” hỗ trợ này, các em sẽ tự tin hơn khi “băng rừng vượt suối” trên hành trình tri thức.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “tinh thần phiêu lưu”, không ngừng “thám hiểm” và “chinh phục” những chân trời mới trong thế giới Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THPT năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Lào Cai
Câu 1. (5,0 điểm)
1. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)=(x+1)(x-2), \forall x \in \mathbb{R}$. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=f\left(3-x^2\right)$.
2. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime}(x)=(x-1)(x-2)(x-3), \forall x \in \mathbb{R}$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $g(x)=f\left(x^2-2|x|-1+m\right)$ có đúng 9 điểm cực trị.
Câu 2. (4.0 điểm).
1. Giải bất phương trình sau: $\log _{\frac{1}{2}}\left(\frac{4^x-3.2^{x+1}+18}{2^{x+1}+1}\right)+1>0$.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để tồn tại hai cặp số $(x, y)$ thỏa mãn $e^{x^2}+y^2-1=e^{2 x-y^2}-(x-1)^2$ và $\log _{x^2+y^2+1}(8 y-4 x+m-20)=1$.
Câu 3. (5.0 điểm).
1. Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh bằng $4 a$, cạnh $S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh $S C$ và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $45^{\circ}, M$ là trung điểm của $B C, N$ là điểm thuộc cạnh $A D$ sao cho $D N=a$. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S . A B C D$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $S B$ và $M N$.
2. Cho khối chóp đều $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a$, tâm $O$. Gọi $I$ là điểm thuộc đoạn $S O$ sao cho $S O=4 O I$, mặt phẳng $(I A B)$ vuông góc với mặt phẳng $(S C D)$. Tính thể tích của khối chóp $S . A B C D$.
