Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Lâm Đồng
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “bản nhạc” tri thức tuyệt vời – đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 12 năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo UBND tỉnh Lâm Đồng. Đây chắc chắn sẽ là một “bản giao hưởng” đầy thử thách và hấp dẫn cho những “nghệ sĩ” đam mê Toán học.
“Bản nhạc” này được “phối khí” trên 01 trang với 05 “nốt nhạc” dưới dạng bài toán hình thức tự luận. Các em sẽ có 180 phút (không tính thời gian phát đề) để “trình diễn” và thể hiện tài năng cũng như sự sáng tạo của mình trong “buổi hòa nhạc” này.
Điểm đặc biệt của “bản nhạc” chính là “cường độ” của nó, với thang điểm lên tới 20. Đây sẽ là một “thử thách” đầy hấp dẫn cho các “nghệ sĩ” Toán học, đòi hỏi sự “virtuoso” và kỹ năng “chơi đàn” điêu luyện.
Chúng tôi tin rằng, đề thi này sẽ là một “bản nhạc” bổ ích và lý thú, giúp các em “luyện tập” kỹ năng và nâng cao trình độ giải Toán. Hãy coi đây như một cơ hội để các em thử sức, khám phá “âm sắc” riêng của bản thân và trở thành những “nghệ sĩ” Toán học tài ba.
Hãy “cầm” lấy “cây đàn” tri thức và sẵn sàng “chơi” những “nốt nhạc” đầy thử thách. Chúng tôi tin rằng, với nỗ lực không ngừng và tình yêu Toán học, các em sẽ “trình diễn” được những “bản nhạc” tuyệt vời và gặt hái nhiều thành công trên con đường chinh phục tri thức.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “đam mê nghệ thuật”, không ngừng “sáng tạo” và “biểu diễn” những “giai điệu” mới trong thế giới Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Lâm Đồng
Câu 1. (4 điểm)
1.1. Cho hàm số $y=x^3+m x+2$ (1). Tìm tất cả giá trị thực của tham số $m$ sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
1.2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{2 x+1}{x+2}$ biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng $3 x-y+2=0$.
Câu 2. (6 điểm)
2.1. Giải phương trình: $2 \log _3^2(x-1)-3 \log _3(x-1) \cdot \log _3(3 x)+\log _3^2(3 x)=0$.
2.2. Cho khai triển nhị thức:
$$
\left(2^{-\frac{x^2}{2}}+2^{\frac{3 x}{4}}\right)^n=C_n^0\left(2^{-\frac{x^2}{2}}\right)^n+C_n^1\left(2^{-\frac{x^2}{2}}\right)^{n-1} .2^{\frac{3 x}{4}}+\ldots+C_n^{n-1} 2^{-\frac{x^2}{2}} \cdot\left(2^{\frac{3 x}{4}}\right)^{n-1}+C_n^n\left(2^{\frac{3 x}{4}}\right)^n, \quad(n \in \mathbb{N}) .
$$
Biết rằng trong khai triển đó có $C_n^4+6 C_n^3-8 C_n^2=15$ và số hạng thứ năm bằng $10 n$. Tìm $n$ và $x$.
2.3. Đầu năm học 2022 – 2023, Truờng THPT X tuyển sinh bốn lớp 10 theo 4 tổ hợp môn lựa chọn. Khi kết thúc đợt tuyển sinh, còn thiếu 5 học sinh theo chỉ tiêu được giao. Trong đợt tuyển sinh bổ sung có 5 học sinh đủ điều kiện xét tuyển và được chọn lớp học theo tổ hợp môn lựa chọn. Tính xác suất để trong 5 học sinh đó có 3 học sinh chọn vào cùng một lớp, trong ba lớp còn lại có hai lớp mỗi lớp có 1 học sinh chọn và một lớp không có học sinh nào chọn.
