Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 chuyên năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Lạng Sơn
Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 chuyên năm học 2021-2022 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lạng Sơn ra đề nhằm tuyển chọn những học sinh giỏi xuất sắc về Toán học. Đề thi gồm 5 bài toán tự luận, với thang điểm 20 và thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề).
Đề thi được cung cấp đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm, giúp các thầy cô giáo và học sinh dễ dàng đối chiếu, rút kinh nghiệm. Đây là một đề thi chất lượng cao, thể hiện sự chuyên nghiệp và tâm huyết của Sở GD&ĐT Lạng Sơn trong việc đào tạo nhân tài Toán học.
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 chuyên năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Lạng Sơn
Câu 1 (4 điểm). Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)=1 \\ 3 \sqrt{x+2 y-2}+x \sqrt{x-2 y+6}=10\end{array}\right.$.
Câu 2 (4 điểm). Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}u_1=a>0 \\ u_{n+1}=\frac{3}{2+u_n}\end{array}, \forall n \geq 1, n \in \mathbb{N}\right.$.
a) Chứng minh rằng $\left|u_n-1\right| \leq \frac{1}{2^{n-1}}|a-1|$ với mọi $n \geq 1, n \in \mathbb{N}$ và dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn.
b) Tìm tất các giá trị của $a$ để $u_{2 k+1}>u_{2 k-1}$ và $u_{2 k+2}<u_{2 k}$ với mọi $k \geq 1, k \in \mathbb{N}$.
Câu 3 (4 điểm). Cho hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$
f(x f(x)+f(y))=y+f^2(x) \text { với mọi } x, y \in \mathbb{R}(1) \text {. }
$$
a) Giả sử rằng $f(0)=0$, chứng minh rằng $f(x)$ là song ánh.
b) Tìm $f(0)$ và tất cả các hàm số thỏa mãn (1).
