Đề chọn HSG trường Toán 12 năm 2022 – 2023 trường chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “cuộc phiêu lưu” trí tuệ đầy hấp dẫn – đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 12 năm học 2022 – 2023 của trường THPT chuyên Phan Bội Châu, tỉnh Nghệ An. Đây chắc chắn sẽ là một “hành trình” đầy thử thách và bất ngờ cho những “nhà thám hiểm” đam mê Toán học.
Hãy “đóng gói hành trang” và sẵn sàng “lên đường” để khám phá những “vùng đất” tri thức mới lạ. Chúng tôi tin rằng, với sự “dũng cảm” và niềm đam mê Toán học, các em sẽ “chinh phục” được những “đỉnh cao” tri thức và gặt hái nhiều “kho báu” trong “cuộc phiêu lưu” này.
Điểm đặc biệt của “cuộc phiêu lưu” chính là “bản đồ” đáp án, “sách hướng dẫn” lời giải chi tiết và “la bàn” bảng hướng dẫn chấm điểm. Với những “công cụ” hỗ trợ này, các em sẽ tự tin hơn khi “băng rừng vượt suối” trên hành trình tri thức, “tìm ra lối đi” một cách chính xác và hiệu quả.
Chúng tôi tin rằng, đề thi này sẽ là một “cuộc phiêu lưu” bổ ích và lý thú, giúp các em “rèn luyện” kỹ năng và nâng cao trình độ giải Toán. Hãy coi đây như một cơ hội để các em thử sức, khám phá “kho báu” tiềm ẩn trong bản thân và trở thành những “nhà thám hiểm” Toán học đầy bản lĩnh.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “tinh thần phiêu lưu”, không ngừng “thám hiểm” và “chinh phục” những chân trời mới trong thế giới Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn HSG trường Toán 12 năm 2022 – 2023 trường chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An
Câu 1 (7,0 điểm).
a) Cho hàm số $y=x^4-2 m x^2+3 m-2$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để hàm số có giá trị cực tiểu bằng -3 .
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}y^2-(x+1) y+x=0 \\ (y-2)\left(\sqrt{2 x^2-2 x+4}+\sqrt{4 x-3}\right)=5 y-8\end{array}\right.$.
Câu 2 (2,0 điểm).
Có tám người ngồi quanh một bàn tròn. Mỗi người có một đồng xu đồng chất. Cả tám người cùng tung đồng xu của mình. Ai tung được mặt ngửa thì đứng dậy, còn ai tung được mặt sấp thì vẫn ngồi yên. Tính xác suất để không có hai người đứng cạnh nhau.
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{4}\left(m^3-8\right) x^4+\left(m^2+4\right) x^3+(2 m-4) x^2+4 x+2022$, với $m$ là tham số. Tìm $m$ để hàm số $f(x)$ đồng biến trên đoạn $[-1 ; 3]$.
b) Cho hai số thực thay đổi $x, y$ thỏa mãn $x^6+3 x^2+y^6-3 y^4+6 y^2=4$. Tìm các giá trị nguyên của biểu thức $P=\frac{x+2 y+1}{2 x+y+3}$.
Câu 4 (2,0 điểm).
Cho hình chóp $S . A B C$. Trên các cạnh $S A, S B, S C$ lần lượt lấy các điểm $D, E, F$ (khác $S$ ). Gọi $M$ là điểm chung của ba mặt phẳng $(A B F),(B C D),(C A E)$. Đường thẳng $S M$ lần lượt cắt các mặt phẳng $(A B C)$ và $(D E F)$ tại $P$ và $N$. Chứng minh rằng $\frac{N P}{N S}=3 \cdot \frac{M P}{M S}$.
