Đề chọn HSG Toán THPT năm 2022 – 2023 trường Đại học Sư Phạm Hà Nội
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “bản giao hưởng” tri thức tuyệt vời – đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán THPT cấp trường năm học 2022 – 2023 của trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, thành phố Hà Nội. Đây chắc chắn sẽ là một “bản nhạc” đầy thử thách và hấp dẫn cho những “nghệ sĩ” đam mê Toán học.
“Bản giao hưởng” này được “chỉ huy” bởi các câu hỏi và bài toán đa dạng, tạo nên một “giai điệu” tri thức đầy mê hoặc. Các em sẽ có cơ hội “trình diễn” tài năng và sự sáng tạo của mình trên “sân khấu” Toán học.
Chúng tôi tin rằng, đề thi này sẽ là một “bản giao hưởng” bổ ích và lý thú, giúp các em “luyện tập” kỹ năng và nâng cao trình độ giải Toán. Hãy coi đây như một cơ hội để các em thử sức, khám phá “âm sắc” riêng của bản thân và trở thành những “nghệ sĩ” Toán học tài ba.
Hãy “cầm” lấy “cây đàn” tri thức và sẵn sàng “chơi” những “nốt nhạc” đầy thử thách. Chúng tôi tin rằng, với nỗ lực không ngừng và tình yêu Toán học, các em sẽ “trình diễn” được những “bản nhạc” tuyệt vời và gặt hái nhiều thành công trên con đường chinh phục tri thức.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “đam mê nghệ thuật”, không ngừng “sáng tạo” và “biểu diễn” những “giai điệu” mới trong thế giới Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn HSG Toán THPT năm 2022 – 2023 trường Đại học Sư Phạm Hà Nội
Câu 1 (3 điểm). Cho hàm số $y=\frac{2 x-3}{x-2}$ có đồ thị $(\mathrm{C})$ và hai điểm $A, B$ thay đổi thuộc $(\mathrm{C})$ sao cho hoành độ của điểm $A$ nhỏ hơn 2 , hoành độ của điểm $B$ lớn hơn 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $A B$.
Câu 2 (4 điểm).
a) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3^{1-x+y}\left(1+2^{x-y}\right)+1=2^{x-y+1} \\ x^2+y^2=5\end{array},(x, y \in \mathbb{R})\right.$.
b) Lấy ngẫu nhiên ba số trong tập hợp $S=\{1 ; 2 ; 3 ; \cdots ; 19 ; 20\}$. Tính xác suất để hiệu của hai số bất kì trong ba số đó (số lớn trừ số bé) không nhỏ hơn 2 .
Câu 3 (4 điểm). Cho dãy số thực $\left(u_n\right)$ xác định bởi: $u_1=1$ và $u_{n+1}=\frac{u_n^2}{2023}+u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
a) Chứng minh rằng dãy $\left(u_n\right)$ tăng và không bị chặn trên.
b) Tính $\lim \left(\frac{u_1}{u_2}+\frac{u_2}{u_3}+\cdots+\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)$.
