Đề chọn HSG Toán 12 cấp trường năm 2019 – 2020 THPT chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương
Vào ngày 07 tháng 09 năm 2019, trường Trung Học Phổ Thông Chuyên Nguyễn Trãi, tỉnh Hải Dương đã tổ chức một kỳ thi quan trọng nhằm chọn lọc đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp trường cho năm học 2019 – 2020. Đây là một sự kiện thường niên được tổ chức với mục đích tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học để đại diện cho nhà trường tham gia các kỳ thi cấp cao hơn.
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 cấp trường năm học 2019 – 2020 tại THPT chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương bao gồm 01 trang với 06 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết các vấn đề phức tạp. Thời gian làm bài là 180 phút, đủ để các học sinh thể hiện khả năng tư duy sâu sắc và kỹ năng giải quyết vấn đề một cách toàn diện. Đề thi được thiết kế với đáp án và lời giải chi tiết, giúp các giáo viên đánh giá và phân tích kết quả một cách khách quan và công bằng.
Trích dẫn Đề chọn HSG Toán 12 cấp trường năm 2019 – 2020 THPT chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương
Câu 1. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^3-y^3+3 y^2-3 x=2 \\ x^2+\sqrt{1-x^2}-3 \sqrt{2 y-y^2}=-2\end{array}\right.$
Câu 2. (2,0 điểm) Cho dãy số $\left(a_n\right)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $3 a_{n+1} \geq a_n$ và $6 a_{n+1}+a_{n-1} \leq 5 a_n \forall n \geq 2, n \in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng dãy $\left(a_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 3. (2,0 điểm ) Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x y+y z+z x+2 x y z=1$. Chứng minh rằng $x^2+y^2+z^2+10 x y z \geq 2$.
Câu 4. (1,5 điểm) Cho dãy số nguyên $\left(a_n\right)$ thỏa mãn: với mọi $p$ nguyên tố và $k$ nguyên dương thì $a_{p k+1}=p a_k-3 a_p+13$. Tính $a_{2019}$
Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ nội tiếp đường tròn $(\mathrm{O})$. Một đường tròn $(\mathrm{K})$ qua $\mathrm{B}$ và $\mathrm{C}$ cắt các đoạn thẳng $\mathrm{CA}$ và $\mathrm{AB}$ lần lượt tại $\mathrm{E}$ và $\mathrm{F}$. Gọi $\mathrm{BE}$ cắt $\mathrm{CF}$ tại $\mathrm{H}$. $\mathrm{M}$ là trung điểm $\mathrm{BC}$ và tiếp tuyến tại $\mathrm{B}$ và $\mathrm{C}$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $\mathrm{BHC}$ cắt nhau tại $\mathrm{I}$. Gọi $\mathrm{S}$ là hình chiếu của $\mathrm{A}$ trên $\mathrm{IH}$ và $\mathrm{D}$ là giao của $\mathrm{IH}$ với $\mathrm{BC}$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $\mathrm{SMD}$ tiếp xúc với đường tròn $(\mathrm{O})$.
