Đề chọn HSG thành phố Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hải Phòng
Ngày 19 tháng 9 năm 2019 đánh dấu một sự kiện quan trọng trong lĩnh vực giáo dục tại thành phố Hải Phòng. Sở Giáo Dục và Đào Tạo Hải Phòng đã tổ chức Kỳ thi chọn học sinh giỏi thành phố môn Toán 12 cho năm học 2019 – 2020. Đây là một cơ hội để các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học được phát hiện và tôn vinh.
Đội ngũ hdgmvietnam.org, một tổ chức uy tín trong lĩnh vực giáo dục, đã giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chọn học sinh giỏi thành phố môn Toán 12 năm 2019 – 2020 của Sở Giáo Dục và Đào Tạo Hải Phòng. Đề thi này dành cho bảng không chuyên, gồm một trang với bảy bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Thời gian dành cho kỳ thi này là 180 phút, đủ để các học sinh thể hiện khả năng của mình trong môn Toán học.
Ngoài ra, hdgmvietnam.org cũng cung cấp lời giải chi tiết và thang điểm cho đề thi này, giúp các thầy cô giáo và học sinh có thể tự đánh giá và rút ra những kinh nghiệm quý báu cho các kỳ thi sắp tới. Sự kiện này không chỉ là một cuộc thi đơn thuần, mà còn là một cơ hội để khuyến khích và nuôi dưỡng niềm đam mê học tập của các em học sinh trong lĩnh vực Toán học.
Trích dẫn Đề chọn HSG thành phố Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Hải Phòng
Bài 1 (2,0 điểm)
a) Cho hàm số $y=\frac{1}{3} x^3-x^2+(m-2) x+m^2+2019$. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty)$.
b) Cho hàm số $y=\frac{2 m x-3-2 m}{x+2}$ có đồ thị là $(C)$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d: y=x-2$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho góc giữa hai đường thẳng $O A$ và $O B$ bằng $45^{\circ}$.
Bài 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình lượng giác sau $\frac{(1-2 \sin x) \cos x}{(1+2 \sin x)(1-\sin x)}=\sqrt{3}$.
b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực $\left\{\begin{array}{l}x^2-3 y+2 \sqrt{x^2 y+2 y}+2=0 \\ \sqrt{x^2+4 x-y+1}+\sqrt[3]{2 x-1}=1\end{array}\right.$
Bài 3 (2,0 điểm)
Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có $A B=a ; A C=2 a ; A A^{\prime}=2 a \sqrt{5}$ và góc $\widehat{B A C}$ bằng $120^{\circ}$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $C C^{\prime}$.
a) Chứng minh rằng $M B$ vuông góc với $A^{\prime} M$.
b) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left(A^{\prime} B M\right)$ theo $a$.
Bài 4 (1,0 điểm)
Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số mà các chữ số đều khác 0 , lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra có mặt đúng ba chữ số khác nhau.
Bài 5 (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$ cho tứ giác $A B C D$ nội tiếp đường tròn đường kính $B D$. Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên các đường thẳng $B D$ và $C D$. Biết $A(4 ; 6)$; đường thẳng $H K$ có phương trình $3 x-4 y-4=0$; điểm $C$ thuộc đường thẳng $d_1: x+y-2=0$ và điểm $B$ thuộc đường thẳng $d_2: x-2 y-2=0$; điểm $K$ có hoành độ nhỏ hơn 1 . Tìm tọa độ các điểm $B$ và $C$.
