Đề chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Gia Lai
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “cuộc đua” trí tuệ đầy gay cấn – đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán bậc Trung học Phổ thông cấp tỉnh năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Gia Lai. Đây chắc chắn sẽ là một “chặng đua” đầy thử thách và kịch tính cho những “tay đua” đam mê Toán học.
“Cuộc đua” này đã chính thức “khởi động” vào sáng thứ Ba, ngày 08 tháng 11 năm 2022. Hãy “khởi động động cơ”, “siết chặt dây an toàn” và sẵn sàng “nhấn ga” để bước vào một “hành trình” tri thức đầy hứng khởi. Chúng tôi tin rằng, với sự “tăng tốc” không ngừng và niềm đam mê Toán học, các em sẽ “về đích” với những thành tích ấn tượng và gặt hái nhiều “chiến thắng” trong “cuộc đua” này.
Hãy coi đây như một cơ hội để các em thử sức, khám phá “tốc độ” và “sức bền” của bản thân, trở thành những “tay đua” Toán học đầy bản lĩnh. Chúng tôi tin rằng, đề thi này sẽ là một “cuộc đua” bổ ích và lý thú, giúp các em “rèn luyện” kỹ năng và nâng cao trình độ giải Toán.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “tinh thần tốc độ”, không ngừng “tăng tốc” và “bứt phá” trên “đường đua” Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Gia Lai
Bài 1 (5 điểm). Cho ba số thực dương $a, b, c$. Chứng minh rằng,
$$
\frac{a b}{a^2+a b+b c}+\frac{b c}{b^2+b c+c a}+\frac{c a}{c^2+c a+a b} \leqslant 1 .
$$
Bài 2 (3 điểm). Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương ( $a, b, c$ ) sao cho với mọi số nguyên dương $n$ không có ước nguyên tố nhỏ hơn 2022 ta luôn có $a^n+b^n+n$ chia hết cho $n+c$.
Bài 3 (3 điểm). Cho hàm số $f:[0 ; 1] \rightarrow[0 ; 1]$ liên tục và thỏa mãn $f(f(x))=x^4, \forall x \in[0 ; 1]$. Chứng minh rằng,
$$
x^4<f(x)<x, \forall x \in(0 ; 1) \text {. }
$$
Bài 4 (5 điểm). Cho tam giác nhọn $A B C$ nội tiếp đường tròn ( $O$ ), $P$ là một điểm thay đổi trên cung nhỏ $A C$ của $(O)$ và $K$ là tâm đường tròn Euler của tam giác $P B C$.
a) Chứng minh rằng, đường thẳng qua $K$ vuông góc với $P A$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ di chuyển.
b) Gọi $H$ là hình chiếu của $K$ lên PA. Chứng minh rằng, đường trung trực của đoạn $A H$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ di chuyển.
