Đề chọn học sinh giỏi Toán năm 2020 – 2021 trường THPT chuyên Bến Tre
Trong năm học 2020 – 2021, trường Trung Học Phổ Thông Chuyên tỉnh Bến Tre đã tổ chức kỳ thi chọn lọc học sinh giỏi môn Toán. Đề thi này được thiết kế với mục đích tìm ra những tài năng xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, những học sinh có khả năng tư duy logic, giải quyết vấn đề phức tạp và sáng tạo.
Đề thi bao gồm 01 trang với 05 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức toán học một cách linh hoạt và sâu sắc. Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, tương đương với 03 giờ, nhằm tạo ra một môi trường thử thách đòi hỏi sự tập trung cao độ và khả năng quản lý thời gian hiệu quả.
Các bài toán trong đề thi không chỉ kiểm tra kiến thức cơ bản mà còn đòi hỏi các kỹ năng giải quyết vấn đề nâng cao, bao gồm suy luận logic, tư duy phân tích, tổng hợp và áp dụng các nguyên lý toán học vào các tình huống thực tế. Đây là một thách thức lớn đối với các học sinh, nhưng cũng là cơ hội để họ thể hiện tiềm năng và khả năng vượt trội của mình.
Trích dẫn Đề chọn học sinh giỏi Toán năm 2020 – 2021 trường THPT chuyên Bến Tre
Câu 1. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{(x-y)^2+4(2 x-y)+15}-\sqrt{y}=\sqrt{x+3} \\ \sqrt{y^2-2(x+y)+10}+\sqrt[3]{2 x-y+3}=y-x+2\end{array} \quad(x, y \in \mathbb{R})\right.$.
Câu 2. Vé xe buýt có dạng $\overline{a b c d e f}$ với $a, b, c, d, e, f \in\{0 ; 1 ; 2 ; \ldots ; 9\}$. Một vé như trên thỏa mãn điều kiện $a+b+c=d+e+f$ được gọi là vé hạnh phúc. Tính số vé hạnh phúc.
Câu 3. Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và $p$ là một ước nguyên tố lẻ của $3^n+1$. Chứng minh $p-1$ chia hết cho 3 .
Câu 4. Cho hai đường tròn $\left(O_1\right),\left(O_2\right)$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Các tiếp tuyến của $\left(O_1\right)$ tại $A, B$ cắt nhau tại $O$. Gọi $I$ là điểm trên đường tròn $\left(O_1\right)$ nhưng ngoài đường tròn $\left(O_2\right)$. Các đường thẳng $I A, I B$ cắt đường tròn $\left(O_2\right)$ lần lượt tại $C, D$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $C D$. Chứng minh rằng:
a) Các tam giác $I A B$ và $I D C$ đồng dạng với nhau.
b) $I, M, O$ thẳng hàng.
Câu 5. Cho hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện: $f(f(x)+2 f(y))=f(x)+y+f(y)$ với mọi $x, y \in \mathbb{R}$ (1) .
a) Chứng minh $f$ là đơn ánh.
b) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn (1) .