Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2022 – 2023 trường chuyên Hà Nội – Amsterdam
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 thân mến,
Nhằm chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán 12 năm học 2022 – 2023, ban giám hiệu trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam trân trọng giới thiệu đề kiểm tra chọn đội tuyển tham dự kỳ thi này.
Đề kiểm tra này sẽ giúp các thầy cô và các em học sinh đánh giá năng lực hiện tại, từ đó có kế hoạch ôn luyện và rèn luyện phù hợp để đạt kết quả tốt nhất tại kỳ thi sắp tới.
Kính mong quý thầy cô và các em học sinh tích cực tham gia và chuẩn bị chu đáo để đạt thành tích xuất sắc, góp phần khẳng định vị thế của nhà trường trong lĩnh vực giáo dục chất lượng cao.
Trân trọng.
Trích dẫn Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2022 – 2023 trường chuyên Hà Nội – Amsterdam
Câu I. (4.5 điểm)
Cho đường cong $(C)$ có phương trình $\mathrm{y}=\mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}^2+2 \mathrm{x}-2022$.
Với mỗi điểm $\mathrm{M}$ thuộc $(\mathrm{C})$, gọi $\mathrm{d}_{\mathrm{M}}$ là tiếp tuyến của đường cong $(\mathrm{C})$ tại $\mathrm{M}$. Trên ( $\mathrm{C}$ ), lấy điểm $\mathrm{M}_1$ có hoành độ $\mathrm{x}_{\mathrm{M}_1}=2022$. Từ điểm $\mathrm{M}_1$ ta xây dựng các điểm $\mathrm{M}_2, \mathrm{M}_3, \ldots, \mathrm{M}_{\mathrm{n}}$ theo quy tắc: điểm $\mathrm{M}_{\mathrm{i}+1}$ $\left(\mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{n}-1, \mathrm{n} \in \mathrm{N}, \mathrm{n} \geq 2\right.$ ) là điểm chung thứ hai của $\mathrm{d}_{\mathrm{M}_{\mathrm{i}}}\left(\mathrm{d}_{\mathrm{M}_1}\right.$ là tiếp tuyến của đường cong $(\mathrm{C})$ tại điềm $\mathrm{M}_{\mathrm{i}}$ ) với đường cong $(\mathrm{C})$. Gọi $\mathrm{x}_{\mathrm{M}_2}, \mathrm{x}_{\mathrm{M}_3}, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{M}_{\mathrm{n}}}$ theo thứ tự là hoành độ của các điểm $\mathrm{M}_2, \mathrm{M}_3, \ldots, \mathrm{M}_{\mathrm{n}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\mathrm{n}$ để $\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{M}_{\mathrm{n}}}\right)+\mathrm{x}_{\mathrm{M}_{\mathrm{n}}}+2021\right) \vdots 2^{2022}$.
Câu II. (5 điểm)
a) Giải phương trình sau trên tập số thực: $2 \sqrt[3]{6 x+\sqrt{2}}=8 x^3-2 x-\sqrt{2}$.
b) Chứng minh rằng phương trình $\mathrm{x}^{2022}+\mathrm{x}^{-2022}=1+\mathrm{x}$ có một nghiệm thực $\mathrm{x} \in\left(1 ; 1+\frac{1}{2022}\right)$.
Câu III. (2.5 điểm)
Cho hai dãy số $\left(u_n\right),\left(v_n\right)(n \geq 0)$ được xác định như sau: $u_0=1, v_0=2, u_{n+1}=u_n+\frac{2022}{v_n}$ và $v_{n+1}=v_n+\frac{2022}{u_n}$ với $\forall n \geq 0$. Chứng minh rằng $\max \left(u_{2022}, v_{2022}\right) \geq 2859,5$.
