Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT Chu Văn An – Hà Nội
Vào ngày 12 tháng 09 năm 2020, trường Trung Học Phổ Thông Chu Văn An, tọa lạc tại thủ đô Hà Nội, đã tổ chức một sự kiện quan trọng: Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán dự thi cấp thành phố dành cho khối lớp 12 trong năm học 2020 – 2021. Đây là một cơ hội để các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học được phát hiện và tôn vinh.
Đề thi được thiết kế với mục đích thử thách kiến thức và tư duy của các thí sinh, bao gồm 05 bài toán tự luận đa dạng về các chủ đề như Hàm số, Phương trình và hệ phương trình, Giới hạn của dãy số, Tọa độ mặt phẳng Oxy, Hình học không gian, và Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến số. Mỗi bài toán đòi hỏi các thí sinh phải vận dụng kiến thức một cách sâu rộng và linh hoạt để giải quyết các vấn đề phức tạp.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi để các học sinh thể hiện tài năng, mà còn là một cơ hội để họ được trau dồi và phát triển kỹ năng tư duy logic, giải quyết vấn đề, và làm việc độc lập. Những kiến thức và kỹ năng này sẽ là nền tảng vững chắc cho sự phát triển trong tương lai của các em, dù theo đuổi lĩnh vực nào.
Trích dẫn Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT Chu Văn An – Hà Nội
Bài 1. (4,0 điểm)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{2 \cos x+3}{2 \cos x-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left(0 ; \frac{\pi}{3}\right)$.
Bài 2. (5,0 điểm)
1) Giải phương trình $\frac{\sqrt{2 x+3}-2}{\sqrt[3]{4 x+5}-3}=\frac{1}{2(x+2)}$.
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}(x-y)\left(x^2+x y+y^2+3\right)=3\left(x^2+y^2\right)+2 \\ (y-1) \sqrt{x+1}-x \sqrt{2-y}=2 x^2-6 y-15\end{array}\right.$.
Bài 3. (3,0 điểm)
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}u_1=3 \\ 2 u_{n+1}=u_n^2+1\end{array}\left(n \in \mathbb{N}^*\right)\right.$.
1) Xét tính tăng, giảm của dãy số $\left(u_n\right)$.
2) Đặt $b_n=\frac{1}{u_1+1}+\ldots+\frac{1}{u_n+1}$. Tính $\lim b_n$.
Bài 4. (6,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng $O x y$, cho tam giác $A B C$ có $M(2 ; 1)$ là trung điểm cạnh $A C$, điểm $H(0 ;-3)$ là chân đường cao kẻ từ $A$, điểm $E(23 ;-2)$ thuộc đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ $C$. Tìm tọa độ điểm $B$ biết rằng điểm $A$ thuộc đường thẳng $d: 2 x+3 y-5=0$ và điểm $C$ có hoành độ dương.
2) Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thoi tâm $O$, cạnh $A B=2 a$ và $\widehat{A B C}=60^{\circ}$. Đường thẳng $S O$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ và $S O=a \sqrt{3}$. Tính theo $a$ khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(S B C)$.
3) Cho tứ diện $O A B C$ có $O A, O B, O C$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $\alpha$ là số đo của góc $\widehat{B A C}$ và $\beta$ là số