Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 chuyên năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
Chào mừng các bạn học sinh lớp 12 đến với đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2021 – 2022. Đây là một cơ hội tuyệt vời để các bạn thể hiện kiến thức và kỹ năng của mình trong lĩnh vực Toán học. Đề thi này được biên soạn bởi các giáo viên giàu kinh nghiệm và chuyên môn cao, nhằm đánh giá toàn diện năng lực của học sinh trong chương trình Toán học phổ thông trung học phổ thông chuyên.
Với những câu hỏi thách thức và đa dạng, đề thi sẽ kiểm tra sự hiểu biết sâu rộng của các bạn về các khái niệm, nguyên lý và ứng dụng của Toán học. Đồng thời, đề thi cũng đòi hỏi các bạn phải có tư duy logic, khả năng phân tích và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo.
Chúng tôi hy vọng rằng đề thi này sẽ là một trải nghiệm thú vị và bổ ích cho các bạn. Hãy chuẩn bị tốt và nỗ lực hết mình để đạt được kết quả tốt nhất. Chúc các bạn may mắn và thành công!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 chuyên năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
Câu 1. Cho dãy số $\left(x_n\right),\left(y_n\right),\left(z_n\right), n=1,2, \ldots$ được xác định như sau:
$$
x_1=2021, x_{n+1}=2022+\sum_{k=1}^n\left(k x_k\right), y_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k}, z_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt[k]{x_k}}, n=1,2, \ldots
$$
a) Chứng minh rằng dãy số $\left(y_n\right)$ có giới hạn hữu hạn.
b) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên tố $p$ sao cho $z_p>2021^{2022}$.
Câu 2. Cho hàm số $f: \mathbb{N}^{\bullet} \rightarrow \mathbb{N}^{\bullet}$ thỏa mãn điều kiện $f(x)+f(y)-x y$ là ước số nguyên dương của $x f(x)+y^3$ với mọi số nguyên dương $x, y$.
a) Tính các giá trị của $f(1), f(2), f(3)$.
b) Tìm tất cả các hàm số đã cho.
Câu 3. Cho $m, n$ là các số nguyên dương. Kí hiệu $S(m, n)$ là số bộ $\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ gồm $n$ số nguyên $x_1, x_2, \ldots, x_n$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
(i) $0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n \leq n$.
(ii) $x_1+x_2+\ldots+x_n$ chia hết cho $m$.
Tính các giá trị của $S(m, n)$ khi:
a) $m=3, n=6$.
b) $m=47, n=2021$.
