Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Nghệ An
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “bản nhạc” tri thức tuyệt vời – đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 12 năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Nghệ An. Đây chắc chắn sẽ là một “bản giao hưởng” đầy thử thách và hấp dẫn cho những “nghệ sĩ” đam mê Toán học.
“Bản nhạc” này được “phối khí” với 05 “nốt nhạc” dưới dạng bài toán tự luận. Các em sẽ có 150 phút (không tính thời gian giao đề) để “trình diễn” và thể hiện tài năng cũng như sự sáng tạo của mình trong “buổi hòa nhạc” này.
Hãy “cầm” lấy “cây đàn” tri thức và sẵn sàng “chơi” những “nốt nhạc” đầy thử thách. Chúng tôi tin rằng, với nỗ lực không ngừng và tình yêu Toán học, các em sẽ “trình diễn” được những “bản nhạc” tuyệt vời và gặt hái nhiều thành công trên con đường chinh phục tri thức.
Chúng tôi tin rằng, đề thi này sẽ là một “bản nhạc” bổ ích và lý thú, giúp các em “luyện tập” kỹ năng và nâng cao trình độ giải Toán. Hãy coi đây như một cơ hội để các em thử sức, khám phá “âm sắc” riêng của bản thân và trở thành những “nghệ sĩ” Toán học tài ba.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “đam mê nghệ thuật”, không ngừng “sáng tạo” và “biểu diễn” những “giai điệu” mới trong thế giới Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Nghệ An
Câu 1. (6,5 điểm)
a) Tìm điểm cực trị của hàm số $y=\left|x^2-2023 x+2022\right|-2021 x$.
b) Có bao nhiêu số nguyên $m$ bé hơn 2022 để bất phương trình $\sqrt[3]{m+\sqrt[3]{x^3-3 x^2}}+m \geq x^2(x-3)$ nghiệm đúng với mọi $x \in[-1 ; 2]$ ?
Câu 2. (5,5 điểm)
Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật, cạnh $B C=a$, tam giác $S A B$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(S C D)$ bằng $\frac{a}{\sqrt{2}}$ và đường thẳng $S C$ tạo với mặt phẳng $(A B C D)$ một góc $\alpha$ với $\tan \alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
a) Tính thể tích khối chóp $S . A B C D$ theo $a$.
b) Tính sin của góc giữa đường thẳng $S C$ với mặt phẳng $(S A D)$.
Câu 3. (5,0 điểm)
a) Cho hàm số bậc ba $f(x)=x^3+b x^2+c x+3$ thỏa mãn điều kiện $\min _{x \in(0 ; 2)} f(x)=f(1)=1$. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})$ trên đoạn $[-1 ; 1]$.
b) Mạng lưới giao thông trong một thành phố được bố trí dạng lưới chữ nhật kích thước $10 \times 12$ như hình vẽ. An lần đầu đến thành phố, muốn đi qua thành phố từ điểm xuất phát $\mathrm{A}$ đến điểm cuối $\mathrm{B}$. An chỉ biết xác định các hướng đi để quãng đường đi là ngắn nhất. Giả sử tại các điểm giao nhau An có thể đi ngẫu nhiên theo một trong các hướng đã định. Tính xác suất để An không đi qua Quảng trường trung tâm $\mathrm{C}$.