Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Cao Bằng
Vào một ngày đáng nhớ trong tháng 05 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Cao Bằng đã tổ chức một sự kiện quan trọng: Kỳ thi tuyển chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán dành cho học sinh lớp 12 hệ Trung học Phổ thông trong năm học 2019 – 2020. Đây là một cơ hội để các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học được khẳng định và ghi nhận những thành tựu xuất sắc của mình.
Đề thi tuyển chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 do Sở Giáo dục và Đào tạo Cao Bằng soạn thảo gồm 02 trang với 06 bài toán dạng tự luận, đòi hỏi sự thông thạo và khả năng tư duy logic cao. Các chủ đề được đề cập bao gồm Hàm số và đồ thị, Giải và biện luận phương trình, Quy tắc đếm, Thể tích và khoảng cách, Tọa độ mặt phẳng Oxy, cũng như các vấn đề liên quan đến Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất (GTLN – GTNN).
Đề thi này không chỉ đơn thuần kiểm tra kiến thức mà còn thách thức khả năng tư duy phân tích, logic và sáng tạo của các thí sinh. Những câu hỏi phức tạp và đa dạng sẽ giúp các học sinh giỏi thể hiện tài năng và sự nỗ lực của mình trong việc chinh phục những thử thách mới.
Trích dẫn Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Cao Bằng
Câu 1. (4,0 điểm)
a) Tìm các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3} x^3-\frac{1}{2}(2 m-1) x^2+\frac{50}{9} x+1$ có hai điểm cực trị $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1=2 x_2$.
b) Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị $\left(C_m\right): y=x^4-2(m+2) x^2+2 m+3$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ tương ứng lập thành một cấp số cộng.
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Giải phương trình: $\sin 4 x+2 \cos 2 x+4 \sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1+\cos 4 x$.
b) Cho đa giác đều $(H)$ có 20 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm $O$. Gọi $X$ là tập các tam giác có các đỉnh là đỉnh của $(H)$. Tính xác suất để chọn được một tam giác từ tập $X$ là tam giác vuông nhưng không vuông cân.
Câu 3. (4,0 điểm)
Cho phương trình $9^{1+\sqrt{1-x^2}}-(3 m+2) \cdot 3^{1+\sqrt{1-x^2}}+m+1=0$ ( $m$ là tham số) $(1)$.
a) Giải phương trình (1) với $m=\frac{1}{2}$.
b) Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình (1) có nghiệm.
Câu 4. (4,0 điểm)
Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thoi, $\widehat{A B C}=60^{\circ}, S A=S B=S C=\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$, góc giữa hai mặt phẳng $(S C D)$ và $(A B C D)$ bằng $60^{\circ}$. Gọi $I$ là điểm thuộc $B D$ sao cho $I D=5 I B$. Tính thể tích của khối chóp $S . A B C D$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $A I$ và $S D$ theo $a$.
