Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Bình Định
Trong nỗ lực thúc đẩy sự phát triển của giáo dục và tạo môi trường cạnh tranh lành mạnh cho các tài năng trẻ, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bình Định đã tổ chức kỳ thi chọn Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán dành cho lớp 12 trong năm học 2019 – 2020. Kỳ thi này diễn ra vào ngày 22 tháng 10 năm 2019, tạo cơ hội cho các học sinh xuất sắc thể hiện năng lực và đam mê với môn Toán.
Đề thi chọn Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2019 – 2020 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bình Định soạn thảo bao gồm 05 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết trong thời gian 180 phút. Đề thi được thiết kế một cách công phu và khắt khe, không chỉ kiểm tra kiến thức nền tảng mà còn đòi hỏi khả năng suy luận, phân tích và áp dụng các nguyên lý toán học vào các tình huống thực tế.
Bằng việc tổ chức kỳ thi này, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bình Định mong muốn tạo cơ hội cho các học sinh xuất sắc được phát hiện và bồi dưỡng, đồng thời khuyến khích sự sáng tạo và tư duy phản biện trong quá trình học tập môn Toán. Điều này thể hiện cam kết của ngành giáo dục trong việc nâng cao chất lượng dạy và học, đặc biệt là trong lĩnh vực Toán học – một môn học quan trọng trong việc phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
Trích dẫn Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Bình Định
Bài 1. (2,0 điểm)
Giải phương trình $x^2+\sqrt{2 x+5}+\sqrt{4-2 x}=4 x-1$.
Bài 2. (3,0 điểm)
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định như sau:
$$
u_1=\sqrt{2-\sqrt{2}}, u_{n+1}=\sqrt{2+u_n} \text { với mọi } n=1,2, \ldots \text {. }
$$
Tính $\lim \left(2^n \sqrt{2-u_n}\right)$.
Bài 3. (3,0 điểm)
Cho hai đa thức $P(x)$ và $Q(x)=a P(x)+b P^{\prime}(x)$ với $a, b$ là các số thực và $a \neq 0$. Chứng minh rằng nếu đa thức $Q(x)$ vô nghiệm thì đa thức $P(x)$ cũng vô nghiệm.
Bài 4. (5,0 điểm)
1. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ có dạng $a^2+b^2+c^2$ với $a, b, c$ là các số tự nhiên sao cho $a^4+b^4+c^4$ chia hết cho $p$.
2. Trên bảng kẻ ô vuông $2 \times n$ ghi các số dương sao cho tổng của hai số trong mỗi cột bằng 1. Chứng minh rằng có thể bỏ đi một số trong mỗi cột để trên mỗi hàng các số còn lại có tổng không vượt quá $\frac{n+1}{4}$.
