Đề chọn học sinh giỏi thành phố Toán 12 năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Hải Phòng
Vào một ngày đầu năm 2022, thành phố Hải Phòng đã tổ chức một sự kiện quan trọng dành cho các học sinh trung học phổ thông lớp 12 môn Toán. Đó là kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố năm học 2021 – 2022, được tổ chức bởi Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng vào Thứ Ba, ngày 18 tháng 01 năm 2022.
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm nay gồm 01 trang với 08 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Thời gian làm bài thi là 180 phút, tương đương với 3 giờ đồng hồ, không tính thời gian phát đề. Đây là một khoảng thời gian đủ dài để các học sinh thể hiện khả năng của mình trong môn Toán.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi để các học sinh giỏi Toán thể hiện năng lực mà còn là cơ hội để họ được ghi nhận và tôn vinh. Những học sinh đạt thành tích cao sẽ được tuyển chọn tham gia các kỳ thi cấp cao hơn, đại diện cho thành phố Hải Phòng trong các cuộc thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn học sinh giỏi thành phố Toán 12 năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Hải Phòng
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Cho hàm số $y=x^3+2 m x^2+(m+3) x+4$ (1) với $m$ là tham số và đường thẳng $(d): y=x+4$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.
b) Cho hàm số $f(x)=\left(1-m^3\right) x^3+6 m x^2+\left(12 m^2-3 m+3\right) x+8 m^3+6 m$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in[-2021 ; 2022]$ sao cho $f(x) \geq 0$ với mọi $x \in[2021 ; 2022]$ ?
Câu 2. (1,0 điểm) Cho các số thực $a ; b ; c$ thuộc khoảng $(1 ;+\infty)$ thỏa mãn
$$
\frac{1}{2} \log _{\sqrt{a}}^2 b+2\left(\log _b c-1\right) \log _b c+\log _a\left(\frac{c^5}{b}\right)=0 .
$$
Tính giá trị biểu thức $F=\log _a b^2+\log _b c$.
Câu 3. (1,0 điểm) Tính tổng tất cả các nghiệm $x \in[0 ; 4 \pi]$ của phương trình
$$
2(\cos x+\sqrt{3} \sin x) \cos x=\cos x-\sqrt{3} \sin x+1 \text {. }
$$
Câu 4. (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hệ bất phương trình sau có nghiệm
$$
\left\{\begin{array}{l}
|x-6| \geq\left|x^2-5 x+9\right| \\
\left(x+1-\sqrt{x^2+3}\right)\left(-7 x^2+2 x-23\right) \leq m \sqrt{\left(x^2+3\right)^3}
\end{array} .\right.
$$
Câu 5. (1,0 điểm) Có 15 người xếp thành một hàng dọc (vị trí của mỗi người trong hàng là cố định). Chọn ra 4 người trong hàng. Tính xác suất để 4 người được chọn không có hai người nào đứng cạnh nhau.
Câu 6. (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có đáy $A B C D$ là hình thang cân, $A D$ song song với $B C, A B=B C=C D=a, A D=2 a$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left(A^{\prime} C D\right)$ và $(A B C D)$ bằng $45^{\circ}$.
a) Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left(A^{\prime} C D\right)$.
$\mathrm{b})$ Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $B$ và vuông góc với đường thẳng $A^{\prime} C$. Mặt phẳng $(P)$ chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh $A$.
