Đề chọn học sinh giỏi thành phố môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hải Phòng
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12,
Chúng tôi, đội ngũ hdgmvietnam.org, xin được giới thiệu đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố và chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 của Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hải Phòng. Kỳ thi quan trọng này đã diễn ra vào thứ Ba, ngày 20 tháng 09 năm 2022.
Với mong muốn cung cấp tài liệu tham khảo hữu ích cho quý thầy cô và các em học sinh, chúng tôi xin được chia sẻ đề thi này. Hy vọng nó sẽ là nguồn tài liệu quý báu giúp các em tham khảo, ôn luyện và chuẩn bị tốt hơn cho các kỳ thi sắp tới.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn học sinh giỏi thành phố môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hải Phòng
Bài 1: (4.0 điễm) Cho dãy số $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $u_0 \in(0 ; 1), u_{n+1}=\frac{u_n^2}{2-u_n^2} \forall n \in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng dãy trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 2: (4.0 điểm) Cho đa thức $P(x)$ có bậc không quá 2022 thỏa mãn $P\left(k^2\right)=k \forall k=\overline{0,2022}$. Chứng minh rằng $P\left(2023^2\right)=2023-C_{4044}^{2022}$.
Bài 3: (4.0 điểm) Cho tam giác $A B C$ nhọn, $A B<B C<C A$, trọng tâm $G$, các đường cao $A D, B E, C F$ đồng quy tại $H(D, E, F$ lần lượt nằm trên $B C, C A, A B)$.
a) Đường tròn $(B H C)$ cắt đường tròn đường kính $A H$ tại $T$ khác $H$. Chứng minh rằng $A, T, G$ thẳng hàng.
b) Các điểm $I, J, K$ lần lượt trên các đường thẳng $B C, C A, A B$ sao cho $H I, H J, H K$ tương ứng vuông góc với $A G, B G, C G$. Chứng minh rằng các đường tròn $(A G D),(B G E),(C G F)$ cùng đi qua một điểm $L$ khác $G$ và $I, J, K, L$ thẳng hàng.