Đề chọn ĐT thi HSG tỉnh môn Toán năm 2023 – 2024 chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An
Kính gửi quý thầy cô và các “siêu sao” Toán học đầy tài năng,
Hdgmvietnam.org xin được “công bố” một tin “nóng hổi” – đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT năm học 2023 – 2024 của trường THPT chuyên Phan Bội Châu, tỉnh Nghệ An. Đây chính là “cỗ máy thời gian” đưa các em đến với “tương lai” tươi sáng và rực rỡ trên đấu trường trí tuệ cấp tỉnh.
Hãy “mài gươm dũa kiếm” và sẵn sàng “ra trận” với một tinh thần “bất khuất”. Đề thi năm nay được “thiết kế” dưới hình thức tự luận, gồm 01 trang với 05 “thử thách” hấp dẫn. Các em sẽ có 150 phút để “tung hoành ngang dọc” trên “chiến trường” tri thức (không tính thời gian phát đề). Hãy tự tin “tỏa sáng” và “chứng tỏ” bản lĩnh của một “chiến binh” Toán học thực thụ.
Quý thầy cô hãy là “người thầy” tận tâm, truyền “nhiệt huyết” và “bí kíp thần kỳ” cho các em. Sự dìu dắt “nhiệt tình” và tình yêu “vô bờ bến” của thầy cô dành cho Toán học sẽ là “nguồn năng lượng vô tận” giúp các em “chinh phục” mọi đỉnh cao.
Hdgmvietnam.org “vô cùng tự hào” được sát cánh cùng quý vị trong “cuộc phiêu lưu” này. Chúng tôi không chỉ mang đến đề thi “độc nhất vô nhị” mà còn cả đáp án và lời giải chi tiết “chuẩn không cần chỉnh”. Tất cả nhằm giúp quý vị có sự chuẩn bị “hoàn hảo” cho kỳ thi sắp tới.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh sẽ có một quá trình ôn luyện “bùng nổ” và gặt hái “mùa vàng” thành công trong kỳ thi này. Hãy biến những ngày tháng “chinh chiến” với Toán học trở thành “kỷ niệm” đáng tự hào trong “hành trang” tri thức của mình.
Cùng nhau “chinh phục” ước mơ và trở thành “huyền thoại” trên bầu trời Toán học Nghệ An!
Trân trọng,
Hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn ĐT thi HSG tỉnh môn Toán năm 2023 – 2024 chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An
Câu 2(5,0 điểm).
a) Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A=1, S B=2, S C=3, \widehat{A S B}=60^{\circ}, \widehat{B S C}=120^{\circ}, \widehat{C S A}=90^{\circ}$.
Tính thể tích khối chóp $S . A B C$ và khoảng cách giữa các đường thẳng $S A$ và $B C$.
b) Cho lăng trụ $A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ có tam giác $A B^{\prime} A^{\prime}$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left(A B^{\prime} B\right)$ và $\left(A B^{\prime} C^{\prime}\right)$. Biết $\sin \varphi=\frac{2}{\sqrt{5}}$ và $A A^{\prime}+B^{\prime} C^{\prime}=6$. Ký hiệu $V_{A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}$ là thể tích khối lăng trụ $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$. Chứng minh $V_{A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}} \leq 24$.
Câu 3(5,0 điểm).
a) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình
$$
2 \sqrt{x^4+x^2+1}+m \sqrt{x^2+x+1}+2 m=2 x^2+m \sqrt{x^2-x+1}+7 \text { có nghiệm thực. }
$$
b) Đặt ngẫu nhiên hết 9 viên bi được đánh số $1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9$ vào 9 ô vuông của lưới ô vuông $3 \times 3$ (hình vẽ lưới ô vuông dưới đây) sao cho mỗi ô vuông chỉ được đặt đúng một viên bi. Tính xác suất để tổng các số trên mỗi hàng là số lẻ và tổng các số trên mỗi cột cũng là số lẻ.
Câu 4(2,0 điểm).
Cho tứ diện $\mathrm{ABCD}$ cố định, $\mathrm{P}$ là điểm thay đổi trong tam giác $\mathrm{BCD}$. Gọi $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{E}$ thứ tự là hình chiếu vuông góc của $\mathrm{P}$ lên các mặt phẳng $(\mathrm{ACD}),(\mathrm{ADB}),(\mathrm{ABC})$. Xác định vị trí của $\mathrm{P}$ để thể tích tứ diện PMNE đặt giá trị lớn nhất.
