Đề chọn đội tuyển Toán năm 2022 – 2023 trường Phổ thông Năng khiếu – TP HCM
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được giới thiệu với quý thầy cô và các bạn học sinh lớp 12 đề thi tuyển chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán năm học 2022 – 2023 của trường Phổ thông Năng khiếu thành phố Hồ Chí Minh. Kỳ thi này đã diễn ra vào thứ Ba, ngày 27 tháng 9 năm 2022.
Với mong muốn cung cấp tài liệu tham khảo hữu ích cho việc ôn luyện và nâng cao kiến thức, chúng tôi xin được chia sẻ đề thi này với các bạn. Hy vọng đề thi sẽ giúp các bạn có thêm cơ hội thực hành, củng cố kiến thức và kỹ năng giải toán, qua đó nâng cao khả năng trong việc chinh phục những đề thi khó khăn hơn trong tương lai.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển Toán năm 2022 – 2023 trường Phổ thông Năng khiếu – TP HCM
Bài 1. (5 điểm) Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=1$ và $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}, \forall n \in \mathbb{N}$ *.
Tìm giới hạn
$$
\lim \frac{1}{\ln n}\left(\frac{u_1}{1}+\frac{u_2}{2}+\ldots+\frac{u_n}{n}\right)
$$
Bài 2. (5 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên dương $x$ thỏa $x^2-x=2^x-2$.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $x, y$ thỏa $x>y>2$ và $x^y-x=y^x-y$.
Bài 3. (5 điểm) Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(\mathrm{O})$ có $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ cố định $(\mathrm{BC}$ không đi qua $\mathrm{O}$ ), $\mathrm{A}$ là điểm thay đổi trên cung lớn $\overparen{B C}$. Gọi $\mathrm{I}, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ là trung điểm của $\mathrm{BC}, \mathrm{CA}$ và $\mathrm{AB}$. Đường tròn qua $\mathrm{M}$, tiếp xúc $\mathrm{BC}$ tại $\mathrm{B}$ và đường tròn qua $\mathrm{N}$, tiếp xúc $\mathrm{BC}$ tại $\mathrm{C}$ lần lượt cắt $\mathrm{IM}$ và $\mathrm{N}$ tại $\mathrm{E}$ và $\mathrm{F}$. Gọi $\mathrm{D}$ là giao điểm của $\mathrm{BE}, \mathrm{CF}$.
a) Chứng minh $\mathrm{AD}$ đi qua một điểm cố định.
b) Gọi $\mathrm{K}$ là giao điểm của $\mathrm{AD}$ với $\mathrm{EF}$. Chứng minh $\mathrm{K}$ thuộc một đường tròn cố định.
