Đề chọn đội tuyển Toán năm 2021 – 2022 trường Phổ thông Năng khiếu – TP HCM
Với niềm đam mê và tình yêu dành cho môn Toán, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được giới thiệu đến quý thầy cô và các em học sinh danh sách đề cử đội tuyển Toán năm học 2021 – 2022 của trường Phổ thông Năng khiếu, thành phố Hồ Chí Minh. Đây là một sự kiện quan trọng, nơi những tài năng trẻ sẽ được tôn vinh và khích lệ phát triển năng khiếu của mình.
Kỳ thi tuyển chọn sẽ diễn ra trong hai ngày: Thứ Bảy 04/12/2021 và Thứ Ba 07/12/2021. Trong những ngày này, các em học sinh sẽ có cơ hội thể hiện kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề của mình. Đây không chỉ là một cuộc thi đơn thuần, mà còn là một sân chơi để các em được trau dồi, học hỏi và cọ xát với những người bạn đồng trang lứa.
Chúng tôi hy vọng rằng kỳ thi này sẽ là một bước đệm quan trọng cho các em trên con đường chinh phục những đỉnh cao mới trong tương lai. Hãy cùng chúng tôi chào đón và ủng hộ những tài năng trẻ này, những người sẽ là những nhà khoa học, những nhà toán học tài năng của đất nước trong tương lai.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển Toán năm 2021 – 2022 trường Phổ thông Năng khiếu – TP HCM
Bài 1. (5 điểm) Tìm hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa
$$
f(x f(y)+f(x))=f(x)+x y+x+1, \forall x, y \in \mathbb{R} .
$$
Bài 2. (5 điểm) Cho dãy số $\left(u_n\right)$ thỏa $u_1=2, u_2=1$ và $u_{n+1}=\sqrt{\frac{u_n u_{n-1}}{n}}$ với mọi $n \geq 2$.
Xét dãy số $\left(v_n\right)$ xác định bởi $v_n:=u_1+u_2+\ldots+u_n, \forall n \geq 1$. Chứng minh dãy $\left(v_n\right)$ hội tụ.
Bài 3. (5 điểm) Cho $p$ là số nguyên tố, $n$ là số nguyên dương thỏa $2<p<n$. Gọi $\mathrm{A}$ là tập hợp các đa thức $P(x)=x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0$ có tất cả các hệ số thuộc tập $\{1 ; 2 ; \ldots ; n!\}$ và $P(m)$ chia hết cho $p$ với mọi số nguyên dương $m$.
a) Chứng minh tổng $a_1+a_p+a_{2 p-1}+\ldots+a_{1+k(p-1)}$ chia hết cho $p$ với mọi $k=\left[\frac{n-1}{p-1}\right]$ (xem $a_n=1$ ), kí hiệu $[x]$ là phần nguyên của $x$.
b) Tính số phần tử của $\mathrm{A}$ theo $\mathrm{n}$ và $\mathrm{p}$.
