Đề chọn đội tuyển Toán năm 2020 – 2021 trường THPT chuyên Trần Phú – Hải Phòng
Vào Thứ Bảy, ngày 12 tháng 09 năm 2020, trường Trung Học Phổ Thông Chuyên Trần Phú, một ngôi trường danh giá tại thành phố Hải Phòng, đã tổ chức một sự kiện quan trọng: Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp trường môn Toán cho năm học 2020 – 2021. Sự kiện này nhằm tuyển chọn những tài năng xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học, những học sinh có khả năng vượt trội và đam mê với môn học này.
Đề thi chọn đội tuyển Toán năm 2020 – 2021 của trường THPT chuyên Trần Phú – Hải Phòng bao gồm 01 trang với 05 bài toán dạng tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic một cách sâu sắc. Thời gian dành cho các học sinh để hoàn thành bài thi là 180 phút, một khoảng thời gian đủ dài để thử thách khả năng tập trung và sự kiên trì của các thí sinh.
Sự kiện này không chỉ là một cuộc thi đơn thuần, mà còn là một cơ hội để các học sinh thể hiện năng lực và đam mê của mình trong lĩnh vực Toán học. Những học sinh xuất sắc nhất sẽ được lựa chọn để tham gia đội tuyển học sinh giỏi cấp trường, nơi họ sẽ tiếp tục được đào tạo và phát triển năng lực của mình.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển Toán năm 2020 – 2021 trường THPT chuyên Trần Phú – Hải Phòng
Bài 1. (4,0 điểm)
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định như sau:
$$
\left\{\begin{array}{l}
u_1=4, u_2=5 \\
u_{n+2}=\sqrt{u_{n+1}}+2 \sqrt{u_n}, \forall n \in \mathbb{N}^*
\end{array} .\right.
$$
Chứng minh dãy $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.
Bài 2. (4,0 điểm)
Xác định tất cả các đa thức hệ số nguyên nhận $1+\sqrt{2021}$ làm nghiệm.
Bài 3. (4,0 điểm)
Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O), D$ là điểm chính giữa cung $B C$ không chứa $A, E$ là điểm đối xứng với $B$ qua $A D, B E$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $B$. Điểm $P$ di chuyển trên cạnh $A C$. $B P$ cắt $(O)$ tại $Q$ khác $B$. Đường thẳng qua $C$ song song với $A Q$ cắt $F D$ tại điểm $G$.
a) Gọi $H$ là giao điểm của $E G$ và $B C$. Chứng minh rằng $B, P, E, H$ cùng thuộc một đường tròn, gọi đường tròn này là $(K)$.
b) $(K)$ cắt $(O)$ tại $L$ khác $B$. Chứng minh rằng $L P$ luôn đi qua một điểm $S$ cố định khi $P$ di chuyển.
c) Gọi $T$ là trung điểm $P E$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $T$ song song với $L S$ đi qua trung điểm của $A F$.
Bài 4. (4,0 điểm)
Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ không vượt quá $10^{2020}$ thỏa mãn $2^n \equiv 2021\left(\bmod 5^{2020}\right)$ ?
