Đề chọn đội tuyển tỉnh môn Toán năm 2021 – 2022 trường chuyên Lê Quý Đôn – Khánh Hòa
Vào một ngày thu đẹp trời, khi mùa hè vừa qua đi, mùa thu mới bắt đầu, trường chuyên Lê Quý Đôn – Khánh Hòa đã tổ chức một kỳ thi quan trọng để lựa chọn những học sinh xuất sắc nhất tham gia đội tuyển tỉnh môn Toán. Kỳ thi này diễn ra vào ngày 05/10/2021, với thời gian làm bài 180 phút, đủ để các thí sinh thể hiện hết năng lực của mình.
Đề thi gồm 04 bài toán tự luận, yêu cầu các em phải sử dụng tư duy logic và kiến thức toán học một cách sâu sắc. Mỗi bài toán là một thách thức lớn, đòi hỏi sự kiên trì và nỗ lực không ngừng. Tuy nhiên, đây cũng là cơ hội để các tài năng trẻ tỏa sáng, thể hiện khả năng giải quyết vấn đề một cách xuất sắc.
Với chỉ 01 trang đề thi, nhưng mỗi câu hỏi đều chứa đựng những bí ẩn toán học phức tạp, khiến các thí sinh phải vận dụng tối đa kiến thức và kỹ năng của mình. Đây không chỉ là một cuộc thi để chọn ra những học sinh giỏi nhất, mà còn là một trải nghiệm thú vị, giúp các em trau dồi năng lực và đam mê với môn Toán.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển tỉnh môn Toán năm 2021 – 2022 trường chuyên Lê Quý Đôn – Khánh Hòa
Bài 1. $(5,00$ điểm) Xét tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực.
a) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn $P(1)=4042$ và
$$
x^2 P(x+1)=(x+1)(x+2) P(x), \forall x \in \mathbb{R} \text {. }
$$
b) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn
$$
2\left(P(x)-P\left(\frac{1}{x}\right)\right)^2+3 P\left(x^2\right) P\left(\frac{1}{x^2}\right)=0, \forall x \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \text {. }
$$
Bài 2. (5,00 điểm) Cho $n$ là một số nguyên dương $(n \geq 3)$, và xét $n$ số nguyên dương đầu tiên 1 , $2, \ldots, n$.
a) Chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $n<p<n$ !.
b) Tìm tất cả các giá trị của $n$ sao cho tồn tại một hoán vị $\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)$ của các số $(1,2, \ldots, n)$ thỏa mãn $\left\{a_1 ; a_1 ; a_2 ; \ldots ; a_1 \cdot a_2 \ldots a_n\right\}$ lập thành một hệ thặng dư đầy đủ modulo $n$.
Bài 3. (5,00 điểm) Cho tập $E$ có 9 phần tử. Gọi $A_1, A_2, \ldots, A_{11}$ là 11 tập con khác rỗng của $E$ và đặt $F=\left\{A_1 ; A_2 ; \ldots ; A_{11}\right\}$. Với mỗi phần tử $x \in E$, dặt $d(x)$ là số các phần tư trong $F$ chứa $x$.
a) Chứng minh rằng $\sum_{x \in E} d(x)=\sum_{i=1}^{11}\left|A_i\right|$.
b) Giả sử rằng với mọi $i, j \in\{1 ; 2 ; \ldots ; 11\}, i \neq j$ ta luôn có $\left|A_i \cap A_j\right| \leq 1$. Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất thỏa mãn tính chất: mọi phần từ trong $E$ đều thuộc ít nhất $k$ tập trong $F$. Chú ý: Kí hiệu $|X|$ để chỉ số phần tử của tập hữu hạn $X$.