Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Tiền Giang
Để lựa chọn đội tuyển tham dự Kỳ thi Học sinh Giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2020 – 2021, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Tiền Giang đã tổ chức một kỳ thi sơ tuyển gồm hai đề thi với tổng cộng bảy bài toán tự luận. Kỳ thi này diễn ra trong hai ngày liên tiếp, 13 và 14 tháng 10 năm 2020, nhằm tìm ra những học sinh xuất sắc nhất để đại diện cho tỉnh tham gia cuộc thi cấp quốc gia.
Các bài toán trong đề thi được thiết kế để kiểm tra kiến thức toán học nâng cao cũng như khả năng tư duy logic và giải quyết vấn đề của học sinh. Những câu hỏi này không chỉ đòi hỏi sự thông thạo về lý thuyết mà còn cần sự sáng tạo và linh hoạt trong cách tiếp cận. Chỉ những học sinh thực sự xuất sắc mới có thể vượt qua được thử thách này.
Kỳ thi sơ tuyển này là bước đệm quan trọng để lựa chọn ra đội tuyển mạnh nhất, đại diện cho Tiền Giang tại Kỳ thi Học sinh Giỏi Quốc gia môn Toán. Đây là cơ hội để các tài năng trẻ được phát hiện và được đào tạo bài bản, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toán học tại địa phương.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Tiền Giang
Bài 3: (5,0 điểm)
Cho $n \in \mathbb{N}^*$. Kí hiệu $\varphi(n)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$.
a) Cho 2 số nguyên dương $a, b$ và $a$ là ước của $b$. Chứng minh rằng $\varphi(a) \leq \varphi(b)$.
b) Chứng minh rằng $\lim \varphi(n)=+\infty$.
Bài 4: (5,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $A B C$ với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi $D, E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $B C, C A, A B$. Điểm $M$ thuộc $B C, N$ là giao điểm của $A M$ và $E F, P$ là giao điểm thứ hai của $O N$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $O D M$. $Q$ là điểm đối xứng với $M$ qua trung điểm của $D P$. Chứng minh rằng $Q$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $D E F$.
