Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Thái Nguyên
Để lựa chọn những học sinh xuất sắc tham gia Kỳ thi Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2020 – 2021, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên đã soạn thảo một đề thi vòng sơ khảo gồm 5 bài toán tự luận. Đề thi này được thiết kế để thách thức các tài năng trẻ, đánh giá khả năng tư duy logic và vận dụng kiến thức toán học của họ.
Trong thời gian 180 phút, các thí sinh phải trải qua một cuộc chiến trí tuệ gay cấn, giải quyết những bài toán phức tạp và đa dạng. Từ lý thuyết tập hợp đến hình học giải tích, từ đại số đến giải tích, đề thi này đòi hỏi các em phải thể hiện sự thông minh, kiên trì và khả năng tư duy sáng tạo.
Chỉ những học sinh xuất sắc nhất, những tài năng toán học đích thực mới có thể vượt qua thử thách này và giành quyền tham dự Kỳ thi Học sinh giỏi Quốc gia. Đây là cơ hội để họ khẳng định năng lực, cạnh tranh với những bạn đồng trang lứa trên khắp cả nước.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Thái Nguyên
Câu 1. (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện
$$
f(x+f(y))=4 f(x)+f(y)-3 x \quad \text { vơi mọi } \quad x, y \in \mathbb{R} .
$$
Câu 2. (4,0 điểm) Cho đa thức $P(x)=x^2+a x+b$ với $a, b$ là các số nguyên. Biết rằng với mọi số nguyên tố $p$, luôn tồn tại số nguyên $k$ để $P(k)$ và $P(k+1)$ đều chia hết cho $p$. Chứng minh rà̀ng tồn tại số nguyên $m$ để $P(m)=P(m+1)=0$.
Câu 3. (5,0 điểm) Với mọi số nguyên dương $x$, kí hiệu $s(x)$ là số chính phương lớn nhất không vượt quá $x$. Cho dãy số $\left(a_n\right)$ được xác định bởi $a_1=p$ ( $p$ là số nguyên dương) và
$$
a_{n+1}=2 a_n-s\left(a_n\right) \text { với } \forall n \geq 1 \text {. }
$$
Tìm tất cả các số nguyên dương $p$ để dãy số $\left(a_n\right)$ bị chặn.
