Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT An Giang
Để lựa chọn đội tuyển tham dự Kỳ thi Học sinh Giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2020 – 2021, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh An Giang đã tổ chức một kỳ thi sơ tuyển vào ngày 17/10/2020. Kỳ thi này bao gồm hai đề thi riêng biệt với tổng cộng 09 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức toán học một cách sâu rộng và linh hoạt để giải quyết.
Các bài toán trong đề thi được thiết kế nhằm kiểm tra năng lực tư duy logic, khả năng phân tích và giải quyết vấn đề phức tạp của học sinh. Đây là một thử thách lớn đối với các em, đòi hỏi sự nỗ lực và kiên trì trong quá trình ôn luyện. Những học sinh xuất sắc nhất trong kỳ thi này sẽ được tuyển chọn vào đội tuyển tỉnh, tiếp tục được đào tạo bài bản để chuẩn bị cho Kỳ thi Học sinh Giỏi Quốc gia môn Toán diễn ra vào năm sau.
Kỳ thi sơ tuyển này không chỉ là một sân chơi để các tài năng trẻ thể hiện năng lực, mà còn là cơ hội để các em được trui rèn, rèn luyện bản thân, phát triển tư duy toán học và khả năng giải quyết vấn đề một cách hiệu quả hơn.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT An Giang
Câu 6 (5,0 điểm).
Cho hệ phương trình
Chứng minh rằng nếu $(b-1)^2 \geq 4 a c$ thì hệ phương trình có nghiệm.
Câu 7 (5,0 điểm).
Cho phương trình $x^4+a x^3+b x^2+c x+1=0(a, b, c \in \mathbb{R})$ có nghiệm.
Chứng minh rằng:
$$
a^2+b^2+c^2 \geq \frac{4}{3}
$$
Câu 8 (5,0 điểm).
Một bảng ô vuông hình chữ nhật có 2020 hàng và 2021 cột. Ký hiệu ( $m, n$ ) $(1 \leq m \leq 2020 ; 1 \leq n \leq 2021$ ) là ô vuông nằm ở hàng thứ $m$ và cột thứ $n$. Thực hiện tô màu các ô vuông của bảng theo quy tắc sau:
+ Lần thứ nhất tô màu hai ô vuông $(r, s) ;(r+1 ; s+1)$ với $1 \leq r \leq 2019$ $1 \leq s \leq 2020$.
+ Lần thứ hai trở đi, tô màu hai ô vuông chưa có màu nằm cạnh nhau trong cùng một hàng hay cùng một cột.
Chứng minh không thể tô màu tất cả các ô của bảng đã cho.
