Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia 2020 – 2021 trường chuyên Bến Tre (lần 2)
Đề thi tuyển chọn đội tuyển dự thi Học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia năm học 2020 – 2021 của trường Trung học Phổ thông Chuyên Bến Tre gồm 7 bài toán hình thức tự luận. Thời gian làm bài là 180 phút, không bao gồm thời gian phát đề.
Đây là một đề thi quan trọng, nhằm lựa chọn những học sinh xuất sắc nhất để đại diện cho nhà trường tham gia kỳ thi Học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia. Các bài toán trong đề thi được thiết kế để kiểm tra kiến thức toán học nâng cao, tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề của học sinh.
Với thời gian làm bài 180 phút, học sinh phải sử dụng thời gian một cách hiệu quả để hoàn thành các bài toán. Đây là một thách thức lớn, đòi hỏi sự tập trung cao độ, kiến thức vững vàng và kỹ năng giải toán nhuần nhuyễn.
Đề thi này không chỉ là một sự kiểm tra kiến thức, mà còn là một cơ hội để các học sinh thể hiện năng lực và đam mê với môn Toán. Những học sinh xuất sắc nhất sẽ được lựa chọn để đại diện cho trường tham gia kỳ thi cấp Quốc gia, nơi họ có thể so tài với những học sinh giỏi nhất trên cả nước.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG Toán Quốc gia 2020 – 2021 trường chuyên Bến Tre (lần 2)
Bài 1: (1 điểm) Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
$$
\sqrt{a^2-a b+b^2}+\sqrt{b^2-b c+c^2}+\sqrt{c^2-c a+a^2}=12
$$
a) Chứng minh rằng $a+b+c \leq 12$
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{a}{\sqrt{a^2+9}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+9}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+9}}$
Bài 2: (1,5 điểm) Trên mặt phẳng cho tập hợp $A$ gồm 66 điểm phân biệt và tập hợp $B$ gồm 16 đường thẳng phân biệt . Gọi $m$ là số bộ $(a ; b)$ sao cho $a \in A, b \in B$. Chứng minh rằng $m \leq 159$.
Bài 3: (1,5 điểm) Cho hình đa giác đều 9 cạnh. Mỗi đỉnh của nó được tô bằng một trong 2 màu trắng hoặc đen. Có tồn tại hay không hai tam giác phân biệt có diện tích bằng nhau, mà các đỉnh của mỗi tam giác được tô cùng 1 màu ? Chứng minh khẳng định đó.
