Đề chọn đội tuyển thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bến Tre
Vào ngày 17 tháng 9 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bến Tre đã tổ chức một sự kiện quan trọng: Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia lớp 12 Trung học Phổ thông môn Toán cho năm học 2020 – 2021. Đây là một cơ hội để các học sinh xuất sắc trong tỉnh được thể hiện năng lực và kiến thức của mình trong môn Toán, một môn học cốt lõi trong chương trình giáo dục phổ thông.
Đề thi chọn đội tuyển này được thiết kế với mục đích đánh giá khả năng tư duy logic, giải quyết vấn đề và áp dụng kiến thức toán học vào các tình huống thực tế. Đề thi gồm 01 trang với 05 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng tối đa kiến thức và kỹ năng của mình để giải quyết các vấn đề phức tạp. Thời gian làm bài là 180 phút, đủ để các học sinh thể hiện khả năng suy luận, tính toán và trình bày lời giải một cách rõ ràng và logic.
Sự kiện này không chỉ là một cuộc thi đơn thuần mà còn là một cơ hội để khuyến khích và phát triển tài năng toán học của các học sinh trong tỉnh. Những học sinh xuất sắc nhất sẽ được lựa chọn để đại diện cho tỉnh Bến Tre tham gia kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia, nơi họ sẽ cạnh tranh với những học sinh xuất sắc nhất trên toàn quốc.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bến Tre
Câu 1. (4 điểm)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x^4+5 y=6 \\ x^2 y^2+5 x=6\end{array}\right.$ với $x, y \in \mathbb{R}$.
Câu 2. (4 điểm)
Cho đa thức $P(x ; y)$ không phải là đa thức hằng, thỏa mãn: $P(x ; y) \cdot P(z ; t)=P(x z+y t ; x t+y z), \forall x, y, z, t \in \mathbb{R}$.
Chứng minh rằng: $P(x ; y)$ chia hết cho ít nhất một trong hai đa thức $Q(x ; y)=x+y, H(x ; y)=x-y$.
Câu 3. (4 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x+x y+f(y))=\left(f(x)+\frac{1}{2}\right)\left(f(y)+\frac{1}{2}\right)$ với mọi $x, y \in \mathbb{R}$.
Câu 4. (4 điểm)
Cho tam giác $A B C$ nhọn có $\widehat{B A C}=30^{\circ}$. Hai đường phân giác trong và ngoài của $\widehat{A B C}$ lần lượt cắt đường thẳng $A C$ tại $B_1$ và $B_2$; hai đường phân giác trong và ngoài của $\widehat{A C B}$ lần lượt cắt đường thẳng $A B$ tại $C_1$ và $C_2$. Giả sử đường tròn đường kính $B_1 B_2$ và đường tròn đường kính $C_1 C_2$ cắt nhau tại một điểm $P$ nằm bên trong tam giác $A B C$. Chứng minh rằng $\widehat{B P C}=90^{\circ}$.
Câu 5. (4 điểm)
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định bởi: $\left\{\begin{array}{l}u_1=20 ; u_2=30 \\ u_{n+2}=3 u_{n+1}-u_n \text { với } n \in \mathbb{N}^*\end{array}\right.$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\left(1+5 \cdot u_n \cdot u_{n+1}\right)$ là một số chính phương.
