Đề chọn đội tuyển thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Bến Tre
Trong không khí sôi nổi của năm học mới, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bến Tre đã tổ chức một sự kiện quan trọng vào Thứ Năm, ngày 22 tháng 08 năm 2019. Đó chính là kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán 12 khối Trung học Phổ thông cho năm học 2019 – 2020. Sự kiện này nhằm tìm kiếm và tuyển chọn những tài năng xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học để đại diện cho tỉnh Bến Tre tham gia kỳ thi học sinh giỏi cấp Quốc gia.
Đề thi chọn đội tuyển được biên soạn một cách công phu và chuyên nghiệp, gồm 1 trang với 05 bài toán dạng tự luận. Các câu hỏi được thiết kế để thách thức khả năng tư duy logic, vận dụng kiến thức linh hoạt và sáng tạo của các thí sinh. Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, tạo ra một môi trường thử thách đầy căng thẳng và gay cấn.
Kỳ thi này không chỉ đơn thuần là một cuộc thi kiểm tra kiến thức, mà còn là một cơ hội để các em học sinh rèn luyện tính kiên trì, sự tập trung và khả năng giải quyết vấn đề. Những kỹ năng này sẽ là nền tảng vững chắc cho sự phát triển trong tương lai của các em, bất kể con đường nào các em lựa chọn.
Với sự tổ chức chu đáo và chuyên nghiệp, kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán 12 tỉnh Bến Tre đã tạo ra một sân chơi lành mạnh, công bằng và thử thách cho các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học. Sự kiện này một lần nữa khẳng định cam kết của ngành Giáo dục tỉnh Bến Tre trong việc đào tạo và phát triển những tài năng xuất sắc cho tương lai đất nước.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Bến Tre
Câu 1 (6 điểm)
a) Giải phương trình : $x^3+x^2-3 x-2=2 \sqrt{x+2}$ trên $[-2 ; 2]$.
b) Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{array}{c}x^2-2 y^2=1 \\ 2 y^2-3 z^2=1 \\ x y+y z+z x=1\end{array}\right.$ (với $x, y, z \in \mathbb{R}$ ).
Câu 2 (3 điểm)
Sắp xếp 1650 học sinh (cả nam và nữ) thành 22 hàng ngang và 75 hàng dọc. Biết rằng với hai hàng dọc bất kì, số lần xảy ra hai học sinh trong cùng hàng ngang có cùng giới tính không vượt quá 11. Chứng minh rằng số học sinh nam không vượt quá $928 \mathrm{em}$.
Câu 3 (3 điểm)
Tìm số nguyên nhỏ nhất $n$ sao cho với $n$ số thực phân biệt $a_1, a_2, \ldots, a_n$ lấy từ đoạn $[1 ; 1000]$ luôn tồn tại $a_i, a_j$ thòa $0<a_i-a_j<1+3 \sqrt[3]{a_i a_j}$ với $i, j \in$ $\{1 ; 2 ; \ldots ; n\}$.
Câu 4 ( 5 điểm)
Gọi các điểm I, H lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, trục tâm của tam giác nhọn $A B C ; B_1, C_1$ lần lượt là trung điểm của $A C, A B ;$ tia $B_1 I$ cắt cạnh $A B$ tại $B_2\left(B_2 \neq\right.$ $B$ ), tia $C_1 I$ cắt phần kéo dài của $\mathrm{AC}$ tại $C_2, B_2 C_2$ cắt $B C$ tại $\mathrm{K}, A_1$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $B H C$. Chứng minh rằng: ba điểm $I, A, A_1$ thẳng hàng khi và chỉ khi $S_{\triangle B K B_2}=S_{\triangle C K C_2}$.
(trong đó: $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{BKB}_2}, \mathrm{~S}_{\triangle \mathrm{CKC}_2}$ lần lượt là diện tích tam giác $\mathrm{BKB}_2, \mathrm{CKC}_2$ )
