Đề chọn đội tuyển thi HSG Quốc gia môn Toán năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Kiên Giang
Vào một ngày thu đẹp trời, cụ thể là Thứ Ba ngày 29 tháng 09 năm 2020, sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Kiên Giang đã tổ chức một sự kiện quan trọng – kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi môn Toán cấp Quốc gia năm học 2020 – 2021. Đây là một cơ hội lớn để các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học được tỏa sáng và khẳng định năng lực của mình.
Đề thi chọn đội tuyển năm nay gồm 01 trang với 04 bài toán tự luận, đòi hỏi sự nỗ lực và tư duy sâu sắc từ các thí sinh. Thời gian làm bài thi là 180 phút, một khoảng thời gian đủ dài để các học sinh thể hiện hết khả năng của mình. Không khí thi cử căng thẳng nhưng cũng tràn ngập niềm đam mê và quyết tâm chinh phục những thử thách mới.
Với sự chuẩn bị kỹ lưỡng và tinh thần quyết tâm cao độ, các thí sinh đã bước vào cuộc chiến trí tuệ này với hy vọng giành được tấm vé đến với kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia danh giá. Kỳ thi chọn đội tuyển này không chỉ là một sân chơi để thể hiện tài năng mà còn là cơ hội để các em được trau dồi kiến thức, rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy logic.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG Quốc gia môn Toán năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Kiên Giang
Bài 1. (5,0 điểm)
Cho dãy số $\left(x_n\right)$ được xác định như sau: $x_1=\frac{7}{3}, x_{n+1}=x_n^2+2 x_n-2$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left(x_n\right)$.
b) Tìm $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{\left(1+x_1\right)\left(1+x_2\right)}+\ldots+\frac{1}{\left(1+x_1\right)\left(1+x_2\right) \ldots\left(1+x_n\right)}\right)$.
Bài 2. (5,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số liên tục $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho: $8 f(4 x)-10 f(2 x)+3 f(x)=30 x, \forall x \in \mathbb{R}$.
Bài 3. (5,0 điểm)
Trên tập hợp các số nguyên không âm, xét phương trình: $x^2+2.3^y=x\left(2^{y+1}-1\right)(1)$.
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm $(x ; y)$ thỏa mãn $(1)$ mà $y \leq 5$.
b) Chứng minh rằng không tồn tại cặp số nguyên không âm $(x ; y)$ với $y \geq 6$ thỏa mãn phương trình (1).
