Đề chọn đội tuyển thi HSG QG THPT 2022 môn Toán sở GD&ĐT Đồng Nai
Vào một ngày đầu đông năm 2021, tỉnh Đồng Nai đã tổ chức một sự kiện quan trọng trong lĩnh vực giáo dục – kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán năm học 2021 – 2022. Sự kiện này do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai chủ trì, diễn ra vào Thứ Ba, ngày 28 tháng 12 năm 2021.
Đề thi chọn đội tuyển gồm 01 trang với 05 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Thời gian làm bài thi kéo dài 180 phút, không tính thời gian phát đề, đủ để các học sinh thể hiện khả năng của mình.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi trí tuệ mà còn là cơ hội để các học sinh xuất sắc được tỏa sáng và đại diện cho tỉnh Đồng Nai tham gia kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán. Đây là một bước đệm quan trọng để các tài năng trẻ có cơ hội chinh phục những đỉnh cao mới trong tương lai.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG THPT 2022 môn Toán sở GD&ĐT Đồng Nai
Bài 1. (4,0 điểm). Dãy số $\left(x_n\right)$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}x_1=1 ; \\ x_{n+1}-\sqrt{x_{n+1}}=x_n+\sqrt{x_n}+\frac{1}{n+4}, n=1,2,3, \ldots\end{array}\right.$
Tính $\lim \frac{x_n}{n^2}$.
Bài 2. (4,0 điểm). Để xác định ai sở hữu kho báu, Alibaba và bốn mươi tên cướp chơi trò chơi sau đây trên một bảng ô vuông vô hạn: họ luân phiên chơi, đầu tiên là Alibaba, sau đó là lần lượt mỗi tên cướp, rồi sau đó là Alibaba, rồi lại lần lượt các tên cướp; cứ tiếp tục như vậy. Mỗi lượt chơi, người chơi được phép tô màu một đoạn thẳng đơn vị là cạnh chung của hai ô vuông đơn vị nào đó của bảng miễn là đoạn đó chưa được tô. Alibaba được sở hữu kho báu nếu sau một lượt chơi của một người chơi nào đó, có một hình chữ nhật $1 \times 2$ (hoặc $2 \times 1$ ) mà toàn bộ biên của nó được tô nhưng đoạn thẳng đơn vị nằm bên trong thì không được tô (xem hình); nếu không thì kho báu thuộc về bốn mươi tên cướp. Hỏi Alibaba có cách nào lấy được kho báu hay không?
Bài 3. (4,0 điềm). Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho
$$
f(x y)=y f(x)+x+f(f(y)-f(x))
$$
với mọi $x, y \in \mathbb{R}$.
