Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Lạng Sơn
Kính gửi quý thầy cô và các em học trò tài năng,
Hdgmvietnam.org xin được gửi tới quý vị một “món quà” đặc biệt – đề thi chọn đội tuyển của tỉnh tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2023 – 2024, được biên soạn bởi Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lạng Sơn.
Đây là cơ hội “vàng” để các em thể hiện tài năng và trí tuệ của mình trên một “đấu trường” mới. Hãy tưởng tượng mình như những “chiến binh” dũng cảm, sẵn sàng “xông pha” vào “cuộc chiến” tri thức sắp tới.
Quý thầy cô hãy là “người thầy” đích thực, truyền cảm hứng và niềm đam mê cho các em trong quá trình ôn luyện. Sự dẫn dắt tận tình của thầy cô sẽ là “ngọn đuốc” soi đường, giúp các em vượt qua mọi “chông gai” và tiến tới “đỉnh vinh quang”.
Hdgmvietnam.org tự hào là “cánh tay đắc lực” của quý vị trong hành trình này. Chúng tôi sẽ không ngừng cập nhật những thông tin mới nhất và chia sẻ những tài liệu “quý như vàng” để quý vị tham khảo.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh sẽ có một quá trình chuẩn bị “thăng hoa” và gặt hái thành công trong kỳ thi sắp tới. Hãy biến những ngày tháng ôn luyện trở thành “hành trang” quý báu cho tương lai rạng ngời phía trước.
Tiến lên và “chinh phục” ước mơ!
Trân trọng,
Hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Lạng Sơn
Câu 1 (5,0 điểm). Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}u_1=a>1 \\ u_{n+1}=\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{u_n^2}}}, \forall n \in \mathbb{N}^* \text {. Chứng minh rằng }\end{array}\right.$ $\left(u_n\right)$ có giới hạn, tìm $\lim u_n$.
Câu 2 (5,0 điểm). Xét các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn tính chất ” Với bất kì hai số thực $x, y$ luôn có: $\left|y^2-P(x)\right| \leq 2|x|$ khi và chì khi $\left|x^2-P(y)\right| \leq 2|y|$ “. Ta gọi $S$ là tập tất cả các đa thức thỏa mãn điều kiện ở trên.
a) Hãy chứng minh rằng họ đa thức $P(x)=-\left(\frac{2 x^2}{C}+C\right)$ với $C>0$ và đa thức $Q(x)=x^2+1$ cùng thuộc vào tập $S$.
b) Giả sử rằng $P(x) \in S$ và $P(0) \geq 0$. Chứng minh rằng $P(x)$ là hàm số chẵn.
Câu 3 (5,0 điểm). Cho tam giác $A B C$ có đường tròn nội tiếp tâm $I$ tiếp xúc với $B C, C A, A B$ lần lượt tại $D, E, F$. Giả sử $G, L, K$ lần lượt là giao điểm của các đường thẳng $E F, F D, D E$ với $B C, C A, A B$ tương ứng.
a) Chứng minh rằng $G, L, K$ thẳng hàng.
b) Lấy các điểm $P, Q$ lần lượt đối xứng với $D$ qua $B, C$ tương ứng. Đường tròn bàng tiếp tâm $J$ ứng với đỉnh $A$ của tam giác $A B C$ tiếp xúc với $B C$ tại $N$; gọi $R$ là điểm đối xứng với $N$ qua $J$. Chứng minh $(P Q R)$ tiếp xúc với $(I)$.
