Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Kiên Giang
Kính gửi quý thầy cô và các em học trò tài năng của tỉnh Kiên Giang,
Với niềm hân hoan và tự hào, hdgmvietnam.org xin được giới thiệu đến quý vị đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2023 – 2024 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Kiên Giang. Kỳ thi sẽ diễn ra trong hai ngày 30/08/2023 và 31/08/2023, hứa hẹn sẽ là một hành trình khám phá tri thức đầy thử thách và hấp dẫn.
Đề thi là sự kết tinh của trí tuệ, công sức và tâm huyết của các thầy cô giáo, nhằm tìm kiếm và tôn vinh những tài năng xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học. Mỗi câu hỏi trong đề thi đều mang tính sáng tạo và đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt kiến thức Toán học vào giải quyết các vấn đề phức tạp.
Hãy xem đây là cơ hội để các em vượt qua giới hạn của bản thân, khám phá tiềm năng vô hạn và khẳng định tài năng của mình. Đừng ngại ngần khi đối mặt với thử thách, hãy mạnh dạn thể hiện những ý tưởng độc đáo và cách tiếp cận mới mẻ. Mỗi nỗ lực và cố gắng của các em đều sẽ được ghi nhận, trân trọng và tôn vinh.
Để hỗ trợ quý thầy cô và các em trong quá trình ôn luyện và rèn luyện, chúng tôi cũng cung cấp đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm cho từng câu hỏi. Tài liệu này sẽ giúp các em nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng tư duy và tự tin hơn khi bước vào phòng thi.
Chúng tôi tin tưởng rằng với sự chuẩn bị kỹ lưỡng, tinh thần học hỏi không ngừng và lòng quyết tâm, các em sẽ tỏa sáng trong kỳ thi này, khẳng định tài năng và trí tuệ của thế hệ trẻ tỉnh Kiên Giang, đồng thời mang vinh quang về cho gia đình, nhà trường và quê hương.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh một kỳ thi thành công rực rỡ, đạt được kết quả xuất sắc và trở thành niềm tự hào của nền giáo dục tỉnh nhà.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Kiên Giang
Bài 1 (5,0 điểm)
Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi $x_1=2$ và $x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n} \quad$ với $\left(n \in \mathbb{N}^*\right)$.
a) Tìm: $\lim \frac{x_n}{\sqrt{n}}$.
b) Tìm tất cả các số tự nhiên $k$ sao cho dãy số $\left(y_n\right)$ xác định bởi:
$$
y_n=\left(\frac{1}{x_1}\right)^k+\left(\frac{1}{x_2}\right)^k+\cdots+\left(\frac{1}{x_n}\right)^k \quad \text { với } n \geq 1 \text {, là dãy bị chặn. }
$$
Bài 2 (5,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
$$
f(x) f(y f(x)-1)=f\left(x^2 y\right)-f(x) \text { với mọi } x, y \in \mathbb{R} \text {. }
$$
Bài 3 (5,0 điểm)
a) Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng
$$
\left(2^{p-2}-1\right)^p\left(2^{p+1}-2\right)-2^{(p-1)^2}+2 \text { chia hết cho } p^3 \text {. }
$$
b) Cho $n$ là một số nguyên lớn hơn 7. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $a$ sao cho $2 a \leq n$ và $4 a^2+n$ là một hợp số.
