Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Hòa Bình
Kính gửi quý thầy cô và các “thiên tài Toán học” đầy nhiệt huyết,
Hdgmvietnam.org xin được “công bố” một tin “sốt dẻo” – đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp Quốc gia môn Toán THPT năm học 2023 – 2024 của Sở Giáo dục và Đào tạo UBND tỉnh Hòa Bình. Đây chính là “cánh cửa” mở ra cơ hội “vàng” để các em khẳng định tài năng và trí tuệ của mình trên “đấu trường” Toán học đầy thử thách.
Hãy “sắn tay áo” và sẵn sàng “xông pha” vào ngày 29/08/2023. Đây là thời khắc để các em “tỏa sáng”, “vượt qua giới hạn” và “chứng tỏ” bản lĩnh của một “chiến binh” Toán học thực thụ. Hãy tự tin “thể hiện” những gì đã học và “giành lấy” vị trí trong đội tuyển danh giá của tỉnh nhà.
Quý thầy cô hãy là “người thầy” đích thực, truyền “lửa” đam mê và “bí kíp” chiến thắng cho các em. Sự hướng dẫn “tâm huyết” và kinh nghiệm “dày dặn” của thầy cô sẽ là “bàn đạp” vững chắc giúp các em “chinh phục” mọi thử thách.
Hdgmvietnam.org tự hào là “người bạn đồng hành” tin cậy của quý vị trên “hành trình” này. Chúng tôi sẽ không ngừng cập nhật những thông tin “chính xác nhất” và chia sẻ những tài liệu “quý giá nhất” giúp quý vị có sự chuẩn bị “toàn diện” cho kỳ thi sắp tới.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh sẽ có một quá trình ôn luyện “hăng say” và gặt hái “quả ngọt” thành công trong kỳ thi này. Hãy biến ngày thi đầy “áp lực” trở thành “cột mốc” đáng nhớ trong “hành trình” tri thức của mình.
Cùng nhau “xung trận” và trở thành “ngôi sao sáng” trên bầu trời Toán học Hòa Bình!
Trân trọng,
Hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Hòa Bình
Câu 1 (4 điểm). Cho dãy số $\left(a_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}a_1=2 \\ a_{n+1}=\left(\frac{n+2}{n}\right)\left(a_1+a_2+\ldots+a_n\right), \forall n \in \mathbb{N}^*\end{array}\right.$
a) Chứng minh rằng dãy số $\left(a_n\right)$ là dãy số tăng.
b) Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $b_n=\sum_{k=1}^n \frac{4^k}{a_k a_{k+1}}$. Chứng minh rằng dãy số $\left(b_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 2 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$
x^2 f(x)+y f\left(y^2\right)=f(x+y) f\left(x^2-x y+y^2\right), \forall x, y \in \mathbb{R} .
$$
Câu 3 (4 điểm). Cho $\triangle A B C$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Điểm $P$ bất kỳ nằm trong tam giác $A B C$ sao cho $A P \perp B C$. Hạ $P E \perp A B, P F \perp A C(E \in A B, F \in A C)$. Gọi $L$ là giao điểm của $B F$ và $C E, Q$ là giao điểm của $A L$ và $B C$ và $X$ là giao điểm của $E F$ và $B C$.
a) Chứng minh rằng đường tròn $(Q E F)$ luôn đi qua một điểm cố định.
b) Kẻ đường kính $A K$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng $K L \perp A X$.
