Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Bình Phước
Kính gửi quý thầy cô và các “siêu anh hùng” Toán học đầy tài năng,
Hdgmvietnam.org xin được “bật mí” một tin “nóng hổi” – đề thi lập đội tuyển chọn học sinh giỏi dự thi cấp Quốc gia môn Toán THPT năm học 2023 – 2024 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bình Phước. Đây chính là “cỗ máy thời gian” đưa các em đến với “tương lai” tươi sáng và rực rỡ trên đấu trường trí tuệ toàn quốc.
Hãy “mài gươm dũa kiếm” và sẵn sàng “ra trận” trong hai ngày “lịch sử” 14/09/2023 và 15/09/2023. Đây là thời khắc để các em “chứng tỏ” tài năng, “vượt qua chính mình” và “khẳng định” bản lĩnh của một “chiến binh” Toán học thực thụ. Hãy tự tin “tỏa sáng” và “giành lấy” suất trong đội tuyển “huyền thoại” của tỉnh nhà.
Quý thầy cô hãy là “người thầy” tận tâm, truyền “nhiệt huyết” và “bí kíp thần kỳ” cho các em. Sự dìu dắt “nhiệt tình” và tình yêu “vô bờ bến” của thầy cô dành cho Toán học sẽ là “nguồn năng lượng vô tận” giúp các em “chinh phục” mọi đỉnh cao.
Hdgmvietnam.org “vô cùng tự hào” được sát cánh cùng quý vị trong “cuộc phiêu lưu” này. Chúng tôi cam kết mang đến những thông tin “nóng hổi nhất” và tài liệu “độc nhất vô nhị” giúp quý vị có sự chuẩn bị “hoàn hảo” cho kỳ thi sắp tới.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh sẽ có một quá trình ôn luyện “bùng nổ” và gặt hái “mùa vàng” thành công trong kỳ thi này. Hãy biến những ngày tháng “chinh chiến” với Toán học trở thành “kỷ niệm” đáng tự hào trong “hành trang” tri thức của mình.
Cùng nhau “chinh phục” ước mơ và trở thành “huyền thoại” trên bầu trời Toán học Việt Nam!
Trân trọng,
Hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Bình Phước
Câu 1. (5.0 điểm) Cho dãy số $\left(a_n\right)$ xác định bơii: $\left\{\begin{array}{l}a_1=\frac{2024}{2023} \\ a_{n+1}=a_n+2 \sqrt{a_n}+\frac{n^2}{a_n}, \forall n \geq 1 \text {. }\end{array}\right.$
a) Chứng minh rằng dãy số $\left(b_n\right)$ xác định bởi $b_n=\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}$ có giới hạn hữu hạn.
b) Xét dãy số $\left(c_n\right)$ xác định bởi $c_n=\left[\sum_{i=1}^n \frac{i}{a_i}\right]$, (kí hiệu $[x]$ là phần nguyên của số thực $x$ ). Chứng minh rằng mỗi số nguyên dương đều xuất hiện trong dãy $\left(c_n\right)$.
Câu 2. (5.0 điểm) Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$
f(x f(x)+f(y))=f^2(x)+y, \forall x, y \in \mathbf{R} \text {. }
$$
Câu 3. (5.0 điểm) Cho tam giác $A B C$ có trực tâm $H$ nội tiếp đường tròn ( $O$ ). G̣̣i $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $B C, C A, A B$. Đường tròn đường kính $A H$ và đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $T$ khác $A . A T$ cắt $B C$ tại $Q$. NP cắt tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ tại $R$.
a) Chứng minh rằng $Q R$ vuông góc với $O H$.
b) Đường thẳng đối xứng với $H M$ qua phân giác trong góc $\widehat{B H C}$ cắt đoạn thẳng $B C$ tại 1 . Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ trên $H I$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $M I K$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$.
