Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 sở GD&ĐT Sơn La
Với niềm đam mê và tình yêu dành cho môn Toán, chúng tôi – đội ngũ hdgmvietnam.org xin được giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh danh sách đề cử đội tuyển thi Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2022 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Sơn La. Kỳ thi quan trọng này sẽ diễn ra trong hai ngày 18 và 19 tháng 9 năm 2021.
Với sự chuẩn bị chu đáo và nỗ lực không ngừng nghỉ, các học sinh được đề cử đã vượt qua nhiều vòng thi khó khăn để giành được tấm vé tham dự kỳ thi danh giá này. Họ sẽ là những đại diện xuất sắc, mang theo niềm tự hào và khát vọng chinh phục tri thức của tuổi trẻ Sơn La.
Chúng tôi hy vọng rằng, với sự hỗ trợ và động viên của quý thầy cô giáo, cùng với quyết tâm và nỗ lực không ngừng, các em học sinh sẽ tỏa sáng và giành được thành tích cao nhất tại kỳ thi này. Hãy cùng chúng tôi cổ vũ và chờ đón những kết quả tốt đẹp nhất từ các tài năng trẻ của Sơn La!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 sở GD&ĐT Sơn La
Câu 1. (5,0 điểm)
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=0, u_{n+1}=\frac{u_n+3}{5-u_n}(n \geq 1)$.
a) Chứng minh rằng dãy $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Đặt $T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{u_k-3}$. Tìm $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{T_n}{5 n+4}$.
Câu 2. (5,0 điểm)
Cho $a, b, c$ là các số thực dương có tích bằng 1 . Chứng minh rằng:
$$
\frac{a}{c a+1}+\frac{b}{a b+1}+\frac{c}{b c+1} \leq \frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right) .
$$
Câu 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $A B C$ không cân nội tiếp đường tròn $(O)$, có đường cao $A H$ và tâm đường tròn nội tiếp là $I$. Đường thẳng $A I$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $M$. Gọi $A^{\prime}$ là điểm đối xứng với $A$ qua tâm $O$. Đường thẳng $M A^{\prime}$ cắt các đường thẳng $A H, B C$ theo thứ tự tại $N$ và $K$.
a) Chứng minh tứ giác $N H I K$ nội tiếp đường tròn.
b) Đường thẳng $A^{\prime} I$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $D$, hai đường thẳng $A D$ và $B C$ cắt nhau tại điểm $S$. Chứng minh rằng nếu $A B+A C=2 B C$ thì $I$ là trọng tâm của tam giác $A K S$.
