Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Tiền Giang
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12,
Nhằm tạo điều kiện cho các em học sinh giỏi môn Toán được thể hiện năng lực và chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi cấp Quốc gia, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Tiền Giang đã tổ chức kỳ thi lập đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp Quốc gia môn Toán THPT năm học 2022 – 2023. Kỳ thi này diễn ra trong hai ngày liên tiếp: 04/10/2022 (ngày thi thứ nhất) và 05/10/2022 (ngày thi thứ hai).
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được giới thiệu đến quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đề thi của kỳ thi này. Hy vọng đề thi sẽ là tài liệu hữu ích để các em ôn luyện và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi học sinh giỏi cấp Quốc gia sắp tới.
Trân trọng!
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Tiền Giang
Bài 1 (5,0 điểm).
Cho dãy số thực $\left(x_n\right)_{n=1}^{+\infty}$ thòa mãn
$$
\left|x_{m+n}-x_m-x_n\right|<\frac{1}{m+n},
$$
với mọi số nguyên dương $m, n$. Chứng minh rằng $\left(x_n\right)$ là một cấp số cộng.
Bài 2 (5,0 điểm).
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=4 \sqrt[3]{a b c}$. Chứng minh rằng
$$
2(a b+b c+c a)+4 \min \left(a^2, b^2, c^2\right) \geq a^2+b^2+c^2 .
$$
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 3 (5,0 điểm).
Xét $A B C$ là tam giác không cân có độ dài các cạnh là các số tự nhiên. Gọi $D$ và $E$ theo thứ tự là trung điểm $B C$ và $C A ; G$ là trọng tâm tam giác $A B C$. Giả sử bốn điểm $D, C, E, G$ cùng nằm trên một đường tròn. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác $A B C$.