Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Thanh Hóa
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12,
Chúng tôi, đội ngũ hdgmvietnam.org, xin được giới thiệu đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thanh Hóa. Kỳ thi này diễn ra trong hai ngày: 27/09/2022 (vòng 1) và 28/09/2022 (vòng 2).
Đề thi này sẽ giúp các em có cơ hội được lựa chọn vào đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán, một sân chơi danh giá và thử thách trí tuệ cao. Chúng tôi hy vọng các em sẽ chuẩn bị tốt và tự tin tham gia kỳ thi này.
Chúc các em thi tốt và đạt kết quả cao nhất!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Thanh Hóa
Bài 1 (5,0 điểm). Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi: $\left\{\begin{array}{l}x_1=\frac{1}{2} \\ x_{n+1}+(n+1) x_n \cdot x_{n+1}=n x_n^2, \forall n \in \mathbb{N}^*\end{array}\right.$.
Chứng minh rằng dãy số $\left(y_n\right)$ xác định bời $y_n=\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_3}{x_2}+\ldots+\frac{x_{n+1}}{x_n}$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 2 (5,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$
f(x+f(x+y))+f(x y)=x+f(x+y)+y \cdot f(x), \forall x, y \in \mathbb{R} .
$$
