Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Thái Nguyên
Với mong muốn hỗ trợ các thầy cô giáo và học sinh lớp 12 chuẩn bị tốt cho kỳ thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán, đội ngũ hdgmvietnam.org xin giới thiệu đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp Quốc gia lớp 12 THPT môn Toán năm học 2022 – 2023 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên.
Đề thi này sẽ giúp các em học sinh có cơ hội ôn luyện, đánh giá năng lực và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi quan trọng sắp tới. Chúng tôi hy vọng rằng đề thi này sẽ là tài liệu hữu ích, giúp các em nâng cao kiến thức và kỹ năng giải quyết các dạng bài tập Toán phổ biến trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Thái Nguyên
Câu 1. (5,0 điểm) Gọi $\mathscr{T}$ là tập tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
$$
f(x+m f(y))-x=f(2023 f(y)) \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \quad \text { ( } m \text { là tham số thực). }
$$
Chứng minh rằng $\mathscr{T}$ khác rỗng khi và chỉ khi $m=2023$.
Câu 2. (5,0 điểm) Cho $x, y$ là các số nguyên dương lớn hơn 2 và $A=y\left(4 y+\frac{5}{x}\right)-\frac{1}{y}+x$. Biết rằng $A$ là một số nguyên dương. Chứng minh rằng $A$ là số chính phương.
Câu 3. (3,0 điểm) Cho $a, b, c, n$ là các số nguyên dương và $a, b, c$ không vượt quá $n$. Giả sử phương trình bậc hai $a x^2+b x+c=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thoả mãn $\left|x_1-x_2\right| \leq \frac{1}{n}$. Chứng minh rằng $n$ có ít nhất hai ước số là số nguyên tố.