Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Quảng Ninh
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “cuộc đua” trí tuệ đầy gay cấn – đề thi lập đội tuyển của tỉnh dự thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ninh. Đây chắc chắn sẽ là một “chặng đua” đầy thử thách và kịch tính cho những “tay đua” đam mê Toán học.
“Cuộc đua” này sẽ diễn ra trong hai “chặng” đầy hấp dẫn: ngày thi thứ nhất vào 06/10/2022 và ngày thi thứ hai vào 07/10/2022. Hãy “khởi động động cơ”, “siết chặt dây an toàn” và sẵn sàng “nhấn ga” để bước vào một “hành trình” tri thức đầy hứng khởi. Chúng tôi tin rằng, với sự “tăng tốc” không ngừng và niềm đam mê Toán học, các em sẽ “về đích” với những thành tích ấn tượng và gặt hái nhiều “chiến thắng” trong “cuộc đua” này.
Điểm đặc biệt của “cuộc đua” này là việc lập đội tuyển của tỉnh để “tranh tài” ở đấu trường học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán. Đây sẽ là một “thử thách tốc độ” đầy hấp dẫn, đòi hỏi sự “bứt phá” và kỹ năng “lái xe” đỉnh cao của các em.
Hãy coi đây như một cơ hội để các em thử sức, khám phá “tốc độ” và “sức bền” của bản thân, trở thành những “tay đua” Toán học đầy bản lĩnh. Chúng tôi tin rằng, đề thi này sẽ là một “cuộc đua” bổ ích và lý thú, giúp các em “rèn luyện” kỹ năng và nâng cao trình độ giải Toán.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “tinh thần tốc độ”, không ngừng “tăng tốc” và “bứt phá” trên “đường đua” Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Quảng Ninh
Câu 1 ( 5,0 điểm)
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a b c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$
P=\frac{a^3}{b^2+1}+\frac{b^3}{c^2+1}+\frac{c^3}{a^2+1} .
$$
Câu 2 ( 5,0 điểm)
Xét hàm số $f:(0 ;+\infty) \rightarrow(0 ;+\infty)$ thỏa mãn: $f(3 f(x)+3 y)=f(3 x+y)+2 y, \forall x, y>0$.
a) Chứng minh rằng $f(x) \geq x, \forall x>0$ và $f(x)$ là hàm đồng biến.
b) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn đề bài.
Câu 3 ( 5,0 điểm)
Cho tam giác $A B C$ không cân, nội tiếp $(O)$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $A B C$, tiếp xúc với các cạnh $B C, C A, A B$ lần lượt tại $D, E, F$. Đường thẳng qua $A$, song song $B C$ cắt (O) tại $T$ khác $A$. Đường thẳng $T D$ cắt $(O)$ tại $J$ khác $T$. Gọi $N$ là trung điểm của $B C$ và $A N$ cắt ( $O$ ) tại $X$ khác $A$.
a) Chứng minh rằng $B C, E F, X J$ đồng quy.
b) Chứng minh rằng giao điểm của $A N$ và $E F$ thuộc đường thẳng qua $I$ vuông góc với $B C$.
c) Gọi $P, Q$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $J E, J F$ với $(O), A I$ cắt lại $(O)$ tại $M$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $A$ vuông góc $P Q$ đi qua trung điểm $M N$.
