Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Quảng Bình
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “cuộc phiêu lưu” trí tuệ đầy hấp dẫn – đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Bình. Đây chắc chắn sẽ là một “hành trình” đầy thử thách và bất ngờ cho những “nhà thám hiểm” đam mê Toán học.
“Lộ trình” của cuộc phiêu lưu này bao gồm hai “chặng” chính: Bài Thi Thứ Nhất và Bài Thi Thứ Hai, mỗi “chặng” đều mang đến những “cảnh quan” tri thức độc đáo và hấp dẫn. Các em sẽ có cơ hội “khám phá” và thể hiện tài năng cũng như sự sáng tạo của mình trong suốt “hành trình” này.
Điểm đặc biệt của “cuộc phiêu lưu” chính là “bản đồ” đáp án và “sách hướng dẫn” lời giải chi tiết. Với những “công cụ” hỗ trợ này, các em sẽ tự tin hơn khi “băng rừng vượt suối” trên hành trình tri thức, “tìm ra lối đi” một cách chính xác và hiệu quả.
“Cuộc phiêu lưu” đã chính thức bắt đầu vào ngày 20 tháng 09 năm 2022. Hãy “đóng gói hành trang”, “mang theo la bàn” và sẵn sàng “lên đường” để khám phá những “vùng đất” tri thức mới lạ. Chúng tôi tin rằng, với sự “dũng cảm” và niềm đam mê Toán học, các em sẽ “chinh phục” được những “đỉnh cao” tri thức và gặt hái nhiều “kho báu” trong “cuộc phiêu lưu” này.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “tinh thần phiêu lưu”, không ngừng “thám hiểm” và “chinh phục” những chân trời mới trong thế giới Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Quảng Bình
Câu 2 (5,0 điểm). Cho $P(x)$ là đa thức monic bậc $n$ (với $n \in \mathbb{N}^*$ ) có đúng $n$ nghiệm thực phân biệt. Biết rằng tồn tại duy nhất số thực $a$ mà $P\left(a^2+4 a+2022\right)=0$. Chứng minh rằng đa thức $P\left(x^2+4 x+2022\right)$ chia hết cho đa thức $(x+2)^2$ và $P(2022) \geq 4^n$.
Câu 3 (5,0 điểm). Cho tam giác $A B C$ có $A B=A C, I$ là tâm đường tròn nội tiếp và ( $T$ ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$. Các đường thẳng $B I$ và $C I$ lần lượt cắt $(T)$ tại điểm thứ hai là $M$ và $N$. Gọi $D$ là điểm thuộc $(T)$, nằm trên cung $B C$ không chứa $A$; $E, F$ lần lượt là các giao điểm của $A D$ với $B I$ và $C I ; P$ là giao điểm của $D M$ với $C I$; $Q$ là giao điểm của $D N$ với $B I$.
a) Chứng minh rằng các điểm $D, I, P, Q$ cùng nằm trên một đường tròn $(\Omega)$.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng $C E$ và $B F$ cắt nhau tại một điểm trên đường tròn $(\Omega)$.
Câu 4 (5,0 điểm). Cho $A$ là tập hợp gồm các số nguyên dương thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
a) Nếu $a \in A$ thì tất cả các ước số dương của $a$ cũng thuộc $A$;
b) Nếu $a, b \in A$ mà $1<a<b$ thì $1+a b \in A$.
Chứng minh rằng nếu $A$ có ít nhất 3 phần tử thì $A$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương.