Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Khánh Hòa
Với mong muốn đóng góp cho cộng đồng giáo dục, đội ngũ hdgmvietnam.org xin giới thiệu đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi môn Toán THPT cấp Quốc gia năm học 2022 – 2023 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Khánh Hòa. Kỳ thi này diễn ra trong hai ngày: 21/09/2022 (vòng 1) và 22/09/2022 (vòng 2).
Đây là cơ hội để các thầy cô giáo và các em học sinh tham khảo, ôn luyện và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi quan trọng này. Chúng tôi hy vọng rằng tài liệu này sẽ hữu ích cho quá trình học tập và rèn luyện của các bạn học sinh.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Khánh Hòa
Câu 1 (5,00 điểm):
Cho dãy số $\left(x_n\right)$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}x_1=1 \\ x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^{2023}}{2023}, n=1,2,3, \ldots\end{array}\right.$
a) Chứng minh $\lim _{n \rightarrow+\infty} x_n=+\infty$.
b) Đặt $y_n=\sum_{i=1}^n \frac{x_i^{2022}}{x_{i+1}}, \quad n=1,2,3 \ldots$ Tính $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[y_n\right]$
trong đó kí hiệu $[x]$ để chỉ số nguyên lớn nhất không vượt quá số thực $x$.
Câu 2 (5,00 điểm):
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}^*$ tăng ngặt thỏa mãn $f(2 n)=f(n)+n, \forall n \in \mathbb{N}^*$ và nếu $f(n)$ là số chính phương thì $n$ là số chính phương.
Câu 3 (5,00 điểm):
Cho số nguyên dương $n$ với $n \geq 2023$ và tập hợp $X=\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; n\}$. Với mỗi $k=1,2, \ldots, n$, đặt $F_k=\{A|A \subset X| A \mid,=k\}$ (kí hiệu $|A|$ để chỉ số phần tử của tập hợp hữu hạn $A$ ).
a) Có bao nhiêu tập hợp $A \in F_k$ mà $A$ luôn chứa số 1 .
b) Có bao nhiêu tập hợp $B \in F_{10}$ mà các phần tử của $B$ không vượt quá 2022 .
c) Mỗi tập hợp $A \in F_k$ đều có phần tử lớn nhất, kí hiệu $m(A)$. Gọi $T(n, k)=\frac{\sum_{A \in F_k} m(A)}{\left|F_k\right|}$ là trung bình cộng của tất cả các phần tử $m(A)$, với mọi $A \in F_k$. Tính $T(n, k)$ theo $n$ và $k$.
