Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hải Dương
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12,
Chúng tôi, đội ngũ hdgmvietnam.org, xin được giới thiệu đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2022 – 2023 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hải Dương. Kỳ thi này đã diễn ra vào thứ Tư, ngày 21 tháng 09 năm 2022.
Đề thi này được sử dụng để lựa chọn những học sinh xuất sắc nhất tham gia kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT, một sân chơi danh giá dành cho các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học. Với sự chuẩn bị kỹ lưỡng và nỗ lực không ngừng, chúng ta hy vọng các em sẽ đạt được thành tích cao tại kỳ thi này.
Chúng tôi mong rằng đề thi này sẽ là tài liệu hữu ích cho quý thầy cô và các em trong quá trình ôn luyện và chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới. Chúc các em học tập tốt và đạt được thành công trong tương lai!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hải Dương
Câu 1. (4,0 điểm) Cho dãy số $\left(x_n\right)$ thỏa mãn $x_1=a>0$ và
$$
\left(x_{n+1}-\sqrt{x_n+3}+1\right)\left(2 x_{n+1}-\frac{x_n^2+3}{x_n+1}\right)=0, \forall n \geq 1
$$
Chứng minh rằng $\left(x_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 2. (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$
f(x f(y)+f(y)+f(x))=y+(y+1) f(x), \forall x, y \in \mathbb{R} .
$$
Câu 3. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn không cân $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $D$ là hình chiếu của $I$ trên $B C, A D$ cắt tại $(O)$ tại $G$. Lấy $E$ và $F$ lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ $B C$ và cung lớn $B C$. Hai đường thẳng $I D$ và $F G$ cắt nhau tại điểm $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $B C$.
a) Chứng minh rằng điểm $H$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $I B C$.
b) Gọi $P$ là điểm trên đường thẳng $I D$ sao cho $M P=M B$ và $K$ trên đường thẳng $B C$ sao cho $K P \perp P M, K I$ cắt $F G$ tại $N$ và $M N$ cắt $A I$ tại $J$. Chứng minh $E$ là trung điểm của $I J$.
