Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Với mong muốn giúp các thầy cô giáo và học sinh lớp 12 chuẩn bị tốt cho kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp Quốc gia môn Toán bậc THPT năm học 2022 – 2023, đội ngũ hdgmvietnam.org xin giới thiệu đề thi do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh ra đề. Kỳ thi này diễn ra trong hai ngày: 22/09/2022 (vòng 1) và 23/09/2022 (vòng 2).

Với đề thi này, các em học sinh sẽ có cơ hội ôn luyện và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi quan trọng sắp tới. Chúng tôi hy vọng rằng đề thi sẽ giúp các em nâng cao kiến thức và kỹ năng giải quyết các bài toán phức tạp, từ đó tự tin hơn trong việc chinh phục những thử thách mới.

Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Bài 1. (5 điểm). Cho dãy số $\left(u_*\right)$ xác định bởi $u_1=1$ và $u_{n+1}=1+\frac{1}{u_n+1}, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
a) Chứng minh rằng dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Chứng minh rằng $\sum_{k=1}^n u_k^2<2 n, \forall n$.

Bài 2. (5 điểm). Cho trước $a, b \in \mathbf{N}^*$ thỏa mãn $a^2+b^2$ là tích của các số nguyên tố phân biệt, và mỗi số nguyên tố đó đều có dạng $8 k-3, k \in \mathrm{N}^*$.
a) Giả sử tồn tại $p=8 d-3\left(l \in \mathrm{N}^*\right)$ là một ước nguyên tố của $a^4+b^4$. Chứng minh rằng $p$ là ước của cả $a$ và $b$.
b) Tìm tất cả các cặp $(m, n)$ với $m, n \in \mathbf{Z}$ mà $a m+b n$ và $a n-b m$ là các số chính phương.

Bài 3. (5 điểm). Cho tam giác $A B C$ nhọn ( $A B<A C$ ), nội tiếp đường tròn (O). Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $A B C$. Đường thẳng $A I$ cắt $B C$ tại $D$ và cắt lại $(O)$ tại $M$. Đường thẳng vuông góc với $A I$ tại $I$ cắt đường thẳng $B C$ tại $K$. Các đường thẳng $K A, K M$ cắt lại $(O)$ lần lượt tại $E, F$. Các đường thẳng $F I, F D$ cắt lại $(O)$ lần lượt tại $N, P$.
a) Chứng minh rằng $M N$ là trung trực của $E P$.
b) Gọi $L$ là giao điểm của $E F$ và $A M$. Chứng minh rằng $K L$ vuông góc với $O I$.

Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Tải tài liệu