Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Ninh Thuận
Để lựa chọn những học sinh xuất sắc tham gia Kỳ thi Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2021 – 2022, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Thuận đã soạn thảo một đề thi gồm 5 bài toán tự luận. Đề thi này được thiết kế để thách thức khả năng tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề của các thí sinh.
Với thời gian làm bài 180 phút, đề thi yêu cầu các học sinh phải vận dụng kiến thức toán học một cách sâu rộng và linh hoạt. Các bài toán không chỉ đơn thuần kiểm tra kiến thức lý thuyết mà còn đòi hỏi khả năng phân tích, suy luận và tư duy sáng tạo.
Đề thi được thiết kế với mục đích tạo ra một sân chơi công bằng, khách quan để tìm ra những tài năng trẻ xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học. Những học sinh vượt qua được thử thách này sẽ được tôn vinh và đại diện cho tỉnh Ninh Thuận tham gia Kỳ thi Học sinh giỏi Quốc gia, nơi họ có cơ hội giao lưu, cọ xát và học hỏi từ những bạn học giỏi trên toàn quốc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Ninh Thuận
Bài 1: Cho $x, y$ là các số thực dương và $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng
$$
\left(x^n+y^n\right)(x+y)^{2 n+1} \geq 2^{2 n+1} x^n y^n\left(x^{n+1}+y^{n+1}\right) \text {. }
$$
Bài 2: Cho dãy số thực $\left(x_n\right)$ được xác định bởi:
$$
x_0=2021, x_{n+1}=1+\frac{x_n}{\sqrt{3 x_n^2-1}}(n \in \mathbb{N}) .
$$
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 3: Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên $P(x), Q(x)$ khác đa thức hằng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
(i) $P(1)=P(2)=Q(0)$;
(ii) $P(Q(x))=P(x) Q(x)-4 Q(x)+P(0), \forall x \in \mathbb{R}$.
Bài 4: Cho đường tròn $(O)$ tâm $O$ và đường tròn $\left(O^{\prime}\right)$ tâm $O^{\prime}$ tiếp xúc trong tại $M,\left(O^{\prime}\right)$ nằm trong $(O)$. Gọi $A$ là một điềm nằm trên $(O)$ sao cho $A, O, O^{\prime}$ không thẳng hàng. Từ điểm $A$ kẻ các tiếp tuyến $A B, A C$ với đường tròn $\left(O^{\prime}\right)$, trong đó $B, C$ là các tiếp điểm. Gọi $E, F$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $A B, A C$ với đường tròn $(O)$.
1) Chứng minh rằng $\frac{M E}{M F}=\frac{B E}{C F}$.
2) Gọi $N$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $A O^{\prime}$ và đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng các đường thẳng $B C, E F, M N$ đồng quy.
