Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Đồng Nai
Vào một ngày đầu tháng 11 năm 2021, tại tỉnh Đồng Nai đã diễn ra một sự kiện quan trọng trong lĩnh vực giáo dục. Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi THPT môn Toán học để tham dự kỳ thi cấp Quốc gia năm học 2021 – 2022. Đây là một cơ hội lớn để các học sinh giỏi môn Toán được thể hiện tài năng và nỗ lực của mình.
Đề thi chọn đội tuyển gồm 05 bài toán dạng tự luận, với thời gian làm bài là 180 phút. Các bài toán này được thiết kế để thách thức khả năng tư duy logic, sáng tạo và vận dụng kiến thức của các thí sinh. Chỉ những học sinh thực sự xuất sắc mới có thể vượt qua được thử thách này.
Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi THPT môn Toán học cấp tỉnh là bước đệm quan trọng để các học sinh có cơ hội tham dự kỳ thi cấp Quốc gia. Đây không chỉ là một sân chơi để thể hiện tài năng mà còn là cơ hội để các em được giao lưu, học hỏi và trau dồi thêm kiến thức từ các bạn học sinh giỏi khác trên cả nước.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Đồng Nai
Bài 1 (4 điểm). Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định bởi $u_1=u_2=0$ và
$$
u_{n+1}=\frac{1}{3}\left(u_n+u_{n-1}^2+\frac{5}{9}\right), \forall n=2,3, \ldots
$$
Chứng minh rằng dãy $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 2 (4 điểm). Cho tam giác $A B C$ và $M$ là điểm trên cạnh $A B$, đường trung trực của các đoạn thẳng $M A, M B$ cắt các cạnh $A C, B C$ lần lượt tại $X, Y$. Gọi $K$ và $L$ lần lượt là trung điểm của $A Y, B X$ và $O$ là điểm nằm trên đường trung trực của $A B$. Gọi $O_1$ và $O_2$ lần lượt là các điểm đối xứng với $O$ qua $K$ và $L$. Chứng minh rằng bốn điểm $X, Y, O_1$ và $O_2$ cùng thuộc một đường tròn.
Bài 3 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$
f(x f(y)+y)=y f(x)+f(y)
$$
với mọi $x, y \in \mathbb{R}$.
