Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Cần Thơ
Trong một ngày đầu tháng 11 đầy nắng ấm, thành phố Cần Thơ đã trở thành sân khấu cho một sự kiện quan trọng trong lĩnh vực giáo dục. Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi THPT môn Toán học dự thi cấp Quốc gia năm học 2021 – 2022. Đây là một cơ hội lớn cho các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học được thể hiện năng lực và khả năng của mình.
Kỳ thi chọn đội tuyển này gồm 06 bài toán dạng tự luận, với thời gian làm bài là 180 phút. Các bài toán được thiết kế để thách thức tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề của các thí sinh. Chúng không chỉ đơn thuần kiểm tra kiến thức mà còn đòi hỏi sự sáng tạo và tư duy phân tích sâu sắc.
Với sự chuẩn bị kỹ lưỡng và nỗ lực không ngừng, các học sinh giỏi đã có cơ hội tỏa sáng trong kỳ thi này. Những ai vượt qua được thử thách sẽ được vinh dự đại diện cho thành phố Cần Thơ tham dự kỳ thi cấp Quốc gia, nơi họ sẽ giao lưu và cạnh tranh với những tài năng xuất sắc nhất từ khắp mọi miền đất nước.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Cần Thơ
Câu 1. (3,0 điểm) Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện $a \geq b c^2, b \geq c a^2$ và $c \geq a b^2$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a b c\left(a-b c^2\right)\left(b-c a^2\right)\left(c-a b^2\right)$.
Câu 2. (3,0 điểm) Cho dãy số thực $\left(u_n\right)$ được xác định bởi
$$
\left\{\begin{array}{l}
u_1=1 \\
u_n=\frac{u_{n-1}^2+2021}{2 u_{n-1}}, \forall n \in N, n \geq 2 .
\end{array}\right.
$$
Chứng minh rằng dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
CẠu 3. (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f: R \rightarrow R$ thỏa mãn điều kiện
$$
f(f(x)+y z)=x+f(y) f(z) \text { vờ ṃi } x, y, z \in \mathbf{R} \text {. }
$$
Cîu 4. (5,0 điểm) Cho tam giác $A B C$ không là tam giác cân. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $A B C$ và tiếp xúc với các cạnh $B C, C A, A B$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $P$ là hình chiếu của $D$ lên $E F$ và $M$ là trung điểm của $B C$. Hai tia $A P$ và $I P$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ lần lượt tại $G$ và $Q$. Chứng minh rằng
4.1. Điểm $Q$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $A E F$.
42. Đường thẳng $G D$ đi qua điểm chính giữa cung $\overparen{B C}$ chứa $A$.
43. Điểm $D$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $Q G M$.