Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT An Giang
Để lựa chọn những học sinh xuất sắc tham gia Kỳ thi Học sinh Giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2021 – 2022, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh An Giang đã tổ chức một kỳ thi đề cử với đề thi gồm 5 bài toán tự luận. Thời gian làm bài là 180 phút, tương đương 3 giờ đồng hồ, diễn ra vào ngày 19 tháng 12 năm 2021.
Đề thi này được xem là một thách thức lớn đối với các học sinh, yêu cầu họ phải thể hiện kỹ năng tư duy logic, khả năng giải quyết vấn đề phức tạp và sự kiên trì. Với thời gian làm bài khá dài, các em cần phải quản lý thời gian hiệu quả, sắp xếp ưu tiên các bài toán và duy trì sự tập trung cao độ.
Những học sinh xuất sắc vượt qua được kỳ thi này sẽ được tuyển chọn để đại diện cho tỉnh An Giang tham dự Kỳ thi Học sinh Giỏi Quốc gia môn Toán. Đây là cơ hội để các em thể hiện năng lực, đạt được thành tích cao và mở ra nhiều cơ hội trong tương lai.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT An Giang
Câu 1 (4,0 điểm).
Giải phương trình: $\sqrt{x^2-3 \sqrt{2} x+9}+\sqrt{x^2-4 \sqrt{2} x+16}=5$
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \in \mathbb{N}, n \geq 1$ ta luôn có
$$
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln (n+1)
$$
b) Gọi $x_n \in(0 ; 1) ;(n \in \mathbb{N}, n \geq 1)$ là nghiệm nếu có của phương trình
$$
\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\cdots+\frac{1}{x-n}=0
$$
Chứng minh rằng $x_n$ luôn tồn tại với mọi số $n$; xét tính hội tụ và tính giới hạn của dãy $\left\{x_n\right\}$ nếu có.
Câu 3 (4,0 điểm).
Có 10 đồng tiền đặt liên tiếp thành một hàng ngang, mỗi đồng tiền có một mặt sấp và một mặt ngửa, lúc đầu tất cả đều hiển thị ngửa. Trong mỗi nước đi. người ta lật hai đồng tiền liền kề với điều kiện cả hai mặt đều ngửa hoặc cả hai đều sấp. Hỏi sau một số nước đi ta có thể thu được bao nhiêu mẫu hiển thị khác nhau của 10 đồng tiền?
